ちなみに証明方法はマクローリン展開を使ってやります。
ｅ^ｘ＝納∞:k=0]{(ｘ^k)/(k!)}
より
ｘ＞０でｅ^ｘ＞１＋ｘ＋{(ｘ^2)/２}が成立。(←証明は２回微分してそこから増加であることを示す。)
逆数をとり０＜1/(ｅ^ｘ)＜1/[１＋ｘ＋{(ｘ^2)/２}]が言えて、
辺々にｘをかけて
０＜ｘ/(ｅ^ｘ)＜ｘ/[１＋ｘ＋{(ｘ^2)/２}]

lim[n→∞]ｘ/[１＋ｘ＋{(ｘ^2)/２}]＝０
よりはさみうちの原理で０