もう少し、意地悪な解釈をしてみましょう。
無限小数というものを次のように定義します：

X が無限小数であるとは、X は、整数列 (a_n)_(n=0,1,2,...)
であり、さらに、n>0 に対しては、0 ≦ a_n ≦ 9
が成り立つものとする。

このとき、集合論的には、無限小数 X の基数 card(X) は、丁度
アレフ　ゼロである。
一方で、デデキント・カットによって定義された、任意の実数 x の基数
card(x) は、集合論的には、丁度 2 である。

したがって、無限小数そのものは、実数ではない。