１次方程式の解の公式は、有理式になるので、整数の範囲では解の公式はない事になりますね
２次方程式の解の公式は、平方根になるので、有理数の範囲では解の公式はない事になりますね
３次方程式の解の公式は、立方根になるので、平方根の範囲では解の公式はない事になりますね

ところが
４次方程式の解の公式は、平方根と立方根を用いて書けるので、解の範囲は
３次方程式のそれと全くおなじになりますよね？

４次方程式の解空間は、３次方程式の解空間と比べて
何かしらの拡がりがあるのでしょうか?

ちなみに５次方程式の厳密解は
楕円関数を使わないと表現できないので
４次方程式と比べて解空間の拡がりはありますね