>>300
hirokuroさん、関数(一般に写像)を与えるとは、
定義域、値域、定義域の各元に対して値域の元を一つ対応させる関係
を与えることです。決して表示方法を与えることではありません。

まさか、x^2+2x+1と(x+1)^2は、xの関数と見たときに別物だとでも言うのでしょうか？

ゼータ関数をΣ[n=1,∞]n^(-s)で与える、とは
定義域はRe(s)>1となる複素数全体、値域は複素数、
対応は、Re(s)>1となる複素数sに対して、Σ[n=1,∞]n^(-s)という複素数を対応させる
ということです。

もちろんRe(s)が1以下のsに対しても、各n^(-s)は定義できますから、その無限和を考えたくなりますが、
これは収束しないので、定義域はRe(s)>1だけです。
勝手に、収束しない範囲でも考えて、それを定義だと思わないでください。

そして、Re(s)>1という範囲で、次の等式が成立します(見にくいですが)。
Σ[n=1,∞]n^(-s)=(∫[1,∞](Σ[n=1,∞]e^(-πxn^2))((x^(s/2)+x^((1-s)/2))/x)dx+1/(s(s-1)))(π^(s/2))/Γ(s/2)

ここで右辺は、1でない全ての複素数sに対してきちんと値を持ち、しかも複素関数として微分可能です。
そこで、この右辺をゼータ関数の全複素数への拡張(解析接続)とします。
この拡張は、微分可能という条件により、一意的であることが(複素関数の一般論から)わかります。

どうもhirokuroさんは、ゼータ関数の拡張とは、単にΣ[n=1,∞]n^(-s)という表示に無理矢理代入する、と捉えているようです。
ゼータ関数とこの表示が一致するのは、あくまでもRe(s)>1のときだけです。