ゼータ関数の定義は？

さて、ゼータ関数とは何でしょうか？
リーマン零点理解が混乱する理由は、ゼータ関数の定義が曖昧だからではないかと思えてなりませんが、
数学の専門家の方々はどのように考えているのですか。

ものの本の中で「リーマン零点はゼータ関数を零とする点のことだ」と説明してあります。
そして、そのゼータ関数とは、Σ_[n=1,∞] 1/n^s と説明されています。
ところが、これだと困ったことになります。

k(s)=lim_[n→∞] zt(s,n)+ber(s,n) であることはすでに説明してあります。
この式で、lim_[n→∞] zt(s,n) がゼータ関数なのでしょうか？
それとも、k(s)がゼータ関数なのでしょうか？

もし、zt(s,n)がゼータ関数なら、複素数実部が１以下のところで、
すべて発散・振動するので、零になるところはひとつもありません。
すでに説明したように、リーマン零点とはk(s)を零とする点のことです。
ところが、このk(s)はΣ_[n=1,∞] 1/n^s ではありません。

こういう矛盾（定義の混乱）を放置しておいて良いのでしょうか。
それとも、単なる私だけの誤解なのでしょうか。