一般の多様体上では、曲線の速度ベクトルの概念が局所座標の取り方に依存してしまう。
したがって速度ベクトルを局所座標系のとり方に無関係な実態として定式化しなければならない。

というようなことが今読んでいる本に書いてあったのですが、逆に曲線の速度ベクトルの概念が
局所座標の取り方に依存しないような空間はあるんでしょうか？ｍ次元数空間R^mも座標軸を
回転させれば、速度ベクトルは一致しなくなりますよね？
そのような空間がないのなら、よく知られているような（ベクトル解析の授業で最初に習うような）
速度ベクトルにはどんな意味があるんでしょうか？

変なこと聞いてるとは思うんですがよろしくお願いします。