じゃあ
f_0(x)=1
f_n(x)=∫_[0,x] f_(n-1)(y)dy+1/(n!) (n=1,2,3…)

の時に一様収束を仮定したら
lim f_n(x)=∫_[0,x] lim f_(n-1)(y)dy + 1
にはなりませんよね？