> 「D(f) = D(g) かつ G(f) = G(g) 」のときf=gであるという、かと。
「D(f) = D(g) かつ G(f) = G(g)」を書き下したものが
「f(x) = g(x) for any x in D(f) = D(g)」なんだから
おまえ自身が同じ文章だと答えていると言うことになるが。
おまえの中では違う文章に見える、ということか？
そうだとしたらなにがどう違うと思ったのかちゃんと書いてみろ。

> とりあえず(x^3+1)'=3x^2という式があれば、右辺の「3x^2」は
> 多項式ではなく函数ですよね！？

とりあえずそれだけではなんともいえない。
多項式にその導多項式を対応させる写像というのは
別に解析を使うことなく定義できるし、そうやって
分離拡大の話をやってる代数の教科書もある。