x+y=0または1
y+z=0または1
z+x=0または1
それぞれの式で0か1かを選ぶことで８通りの連立方程式ができて、
その8通りの解が平行六面体の8つの頂点の座標。

ところで一般論として平行六面体ABCD-EFGHの体積は四面体ABDEの体積の６倍
（底面積が２倍。柱と錐の体積の関係で３倍）

ということで先ほどの８組の連立方程式の解のうち
A(0,0,0) B(1/2,1/2,-1/2) D(-1/2,1/2,1/2) E(1/2,-1/2,1/2)
の４つを頂点とする四面体の体積を考える。
△BDEを底面と見ると、底面は一辺√２の正三角形、母線の長さは(√3)/2
あとはがんばれば中学レベルの数学で体積が求められる。