Σ(1/√(N!))の添え字とその範囲が分からないので、問題として不成立。
もし添え字がNであったならば、Σ(1/√(N!))は

Σ[N＝a〜b](1/√(N!))

という形になる(a,bはNの式である可能性もある)が、
このときlim[N→∞]Σ[N＝a〜b](1/√(N!)) は意味不明。

もし添え字がN以外であったならば、例えば添え字をkだとすると、Σ(1/√(N!))は

Σ[k＝a〜b](1/√(N!))

という形になる(a,bはNの式である可能性もある)が、このとき
Σ[k＝a〜b](1/√(N!))＝(b−a＋1)/√(N!) であるから、

lim[N→∞]Σ(1/√(N!))＝lim[N→∞](b−a＋1)/√(N!)

となる。もしa,bがNによらない定数ならば、上の極限は0になる。a,bがNに
よって変化する場合は、どう変化するのかによって上の極限が変わる。
そして、a,bの変化の仕方は問題文に与えられていない。