完全微分方程式の解き方なんですが
du = u_x dx + u_y dy
u(x,y)=∫u_x dx =∫u_y dy
とやって積分定数をそれぞれC_1(y)、C_2(x)として得られる2つの式から比較してu(x,y)を求めると
だめみたいなんですが何でですか？

普通は片方偏微分して求めるようですが