(Ω,Σ,μ)を測度空間とする。{f_n}が測度Cauchy列⇒その部分列はあるfに殆ど一様収束する。

(Ω,Σ,μ)を測度空間とする。
測度Cauchy列の定義は
「E∈Σ,0<∀ε,lim[m,n→∞]∃K∈N;K<m,n∈N⇒lim[m,n→∞]μ({x∈E;|f_m(x)-f_n(x)|≧ε})=0」

殆ど一様収束の定義は
「0<∀ε∈R,E⊃∃Z∈Σ such that μ(Z)=0 且つ f_nはfにE＼Z上で一様収束する」

だと思います。

{f_n}が測度Cauchy列⇒その部分列はあるfに殆ど一様収束する。

を示したく思っています。

[証]
仮定より
E∈Σ,0<∀ε,lim[m,n→∞]μ({x∈E;|f_m(x)-f_n(x)|≧ε})=0
で「{f_n}が測度Cauchy列なら{f_n}はあるfに測度収束する」という命題があったかと思います。
それから、{f_k}の部分列を{f_(i_k)}とすると、、、、
それからどのようにして証明できますでしょうか?