自作問題。

[1]次の2つの条件をともに満たす関数f：[0,1]→[0,＋∞)は作れるか？
・fはルベーグ可測関数である。
・0≦a＜b≦1を満たす任意のaとbに対して、∫[a,b]f(x)dx＝＋∞である。
(注意：fの値域は[0,＋∞)にしてあるので、f(x)＝＋∞ (0≦x≦1)のような関数はダメ。)

[2]次の2つの条件をともに満たす関数f：(0,1)→Rは作れるか？
・fは任意の点x∈(0,1)で微分可能である。
・0＜a＜b＜1を満たす任意のaとbについて、fは[a,b]上で有界変動でない。

[2]の方は、作れるのか作れないのか分からない。誰か解いてくだしあ。
もし作れるならば、f ' は任意の0＜a＜b＜1について[a,b]上でルベーグ
可積分でない(すなわち、f '_(＋)の積分もf '_(−)の積分も発散する)。
これに関連して[1]を作った。[1]の方は何とか作れた。