題意を満たすAが存在したとする。x＞0に対してf(x)＝λ(A∩[0,x])＝∫[0,x]1_A(t)dt と
おく。ここで、1_A(t)はAの定義関数である。Aの定義から、f(x)＝(1/2)λ([0,x])＝x/2となる。
これとfが a.e. で微分可能なことから、1_A(x)＝1/2 がa.e. xで成り立つ。ところが
1_A(x)＝0 or 1であるから、矛盾。