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ルベーグ積分に関する問題を作り、解け

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0001ガウス

2008/02/01(金) 15:37:33

ルベーグ積分に関する問題を作り、解け

0002１３２人目の素数さん

2008/02/01(金) 15:43:16

>>1

ルベーグ積分がわからないです。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1176444089/

0003１３２人目の素数さん

2008/02/01(金) 15:44:27

　　　　　　　　　　＿_ヽ. ／　　　　 /　　　　　　　＼
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　　　　　　　 ´Ｌ/　|.f　　　 /　　/　　ｲ　,′｜｜　　 .!_ｌ_
　　　　　　 f⌒',　| 　 '|　　 f 　 ,ｲ⌒メ､j /　　 !　|　l 　 |｜｀＼
　　　 f⌒',　　| 　 l　!　ヽ!　　 l | / |／　 //　　｜.ﾊ-|､/ |｜
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　　　　,.ゝ　⌒　　{　 '. |｜　｜弋Ｚツ　　　　　んｨ} }} l/　 !
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0004にょにょ ◆yxpks8XH5Y

2008/02/01(金) 18:37:01

　 Λ＿Λ
　（　´∀｀）　＜ヨン様

0005１３２人目の素数さん

2008/02/01(金) 18:38:19

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　　　　　　　　　　　　　　　　 ,．　´　　　､｀` 　 .
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0006１３２人目の素数さん

2008/02/02(土) 03:04:26

|　′{f从_）` ﾉ.:.:.:.:.:.: ／　｀ヽ|.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.: i
|　ゝ｀二´∠:.　-‐''´　-ｰ-､　|.:.:.:.:.:.:.:.:.:l:.:.:.: |
|　　　　　　　　 ,ｨ爪_） i丿:.:.:.:.:.:.:.:,ﾊ.:.:.:.|　　　＜こっちにもある
|　　　　　　　　ゞ少′j!!:.:.: l:.:.:.:./ｰ',:.:/…‐-　.._
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|　　　　　__　 ´　　　　　_／彡ｲ:ﾉ／イ八／jﾉヽ;ﾊ::::::::::::::::＼
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|　　 /　∨こﾌイj:/ｲ:.!:j;.ｲ:::l:::|./ｨ',ｨ爪）　　　 ´ -- 、　|:::::::::.l　　　
|　　,.ｒ＜¨`く.＼ ′ ゝ｛. !:::ﾊ:jﾍ ! ゞ少′　　　 ,ｨ爪 ) ',. ﾉ:::/::::.|
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| . . . . / . . . . . . . . / 　　ヽ{＼i＼　　　　　　 _,..ｲ:/:i::/!::/　　＜　どっちかなぁ？
| . . . / . . . . . . . . /　　　＿, ____ 丿｀ー-,--‐ｧ7升イ´j／ jｲ
| . . / . . . . . . . . /　くて_　ﾉ＜´　　　　　＼____´´
| . / . . . . . . . . /　／廴,.ｲ　入　　　　　　｀ア＼

0007１３２人目の素数さん

2008/02/03(日) 14:31:56

ウルトラセブン

0008１３２人目の素数さん

2008/02/03(日) 15:02:12

問題:
ルベーグ測度を λ とする。任意の区間 I ⊂ R に対して
λ(I∩A)/λ(I) = 1/2 を満たす集合 A ⊂ R を構成せよ。

0009１３２人目の素数さん

2008/02/03(日) 15:19:38

>>1 は、今週ルベーグの試験をする予定の某大学の教授

0010１３２人目の素数さん

2008/02/03(日) 16:36:37

>>8
そのようなAは無い

0011１３２人目の素数さん

2008/02/03(日) 16:45:26

題意を満たすAが存在したとする。x＞0に対してf(x)＝λ(A∩[0,x])＝∫[0,x]1_A(t)dt と
おく。ここで、1_A(t)はAの定義関数である。Aの定義から、f(x)＝(1/2)λ([0,x])＝x/2となる。
これとfが a.e. で微分可能なことから、1_A(x)＝1/2 がa.e. xで成り立つ。ところが
1_A(x)＝0 or 1であるから、矛盾。

0012１３２人目の素数さん

2008/02/03(日) 17:09:51

自作問題。

[1]次の2つの条件をともに満たす関数f：[0,1]→[0,＋∞)は作れるか？
・fはルベーグ可測関数である。
・0≦a＜b≦1を満たす任意のaとbに対して、∫[a,b]f(x)dx＝＋∞である。
(注意：fの値域は[0,＋∞)にしてあるので、f(x)＝＋∞ (0≦x≦1)のような関数はダメ。)

[2]次の2つの条件をともに満たす関数f：(0,1)→Rは作れるか？
・fは任意の点x∈(0,1)で微分可能である。
・0＜a＜b＜1を満たす任意のaとbについて、fは[a,b]上で有界変動でない。

[2]の方は、作れるのか作れないのか分からない。誰か解いてくだしあ。
もし作れるならば、f ' は任意の0＜a＜b＜1について[a,b]上でルベーグ
可積分でない(すなわち、f '_(＋)の積分もf '_(－)の積分も発散する)。
これに関連して[1]を作った。[1]の方は何とか作れた。

0013１３２人目の素数さん

2008/02/03(日) 23:47:01

>>11
サンクスです！これで疑問が解決しました。

0014１３２人目の素数さん

2008/02/06(水) 08:53:27

>>11
すみません、a.e.ってなんですか？

0015１３２人目の素数さん

2008/02/06(水) 15:05:57

a.e.が分からない人間にこのスレは必要ないだろう

0016１３２人目の素数さん

2008/02/06(水) 15:14:12

p.p.ならわかるんですけどねえ。

0017１３２人目の素数さん

2008/02/06(水) 21:22:00

X^2＋Y^2＝9　で定義される円Ｃの内側を、半径１の円Ｄが滑らずに転がるとする。
時刻Tにおいて、Ｄは点（3cosT，3sinT）でＣに接している時、
範囲　０≦Ｔ≦2/3*π（にぶんのさんぱい）において、点Ｐの描く曲線の長さを求めよ

0018１３２人目の素数さん

2008/02/08(金) 21:44:33

>>17
エピサイクロイドっていうのはわかるんだが

0019ニュートン

2008/02/12(火) 14:30:11

age

0020１３２人目の素数さん

2008/02/12(火) 14:53:48

>>16

なんだ，からかってただけか…

0021１３２人目の素数さん

2008/02/12(火) 14:58:03

昔聞いた話だが，るベ積の講義が終了して，試験の時には，
すべてわからなくなっていて，次の問題もできなくなって
いた人がいたという．

ルベーグ積分 ∫_[0,1] x^2 d x を求めよ．

0022ニュートン

2008/02/12(火) 15:26:06

ルベーグの収束定理を証明しなさい。

0023ニュートン

2008/02/12(火) 15:30:17

ディリクレの関数をルベーグ積分で、積分しなさい。
その計算過程も書きなさい。

0024ニュートン

2008/02/12(火) 15:33:24

任意のベール関数をルベール積分で積分しなさい。
また、その計算過程も書きなさい。

0025ニュートン

2008/02/12(火) 15:45:54

ｆ（ｘ）＝３をルベーグ積分で、積分しなさい。

0026１３２人目の素数さん

2008/02/12(火) 16:53:43

>>21
そうなるのも、なんとなく分かるwwww

0027１３２人目の素数さん

2008/02/12(火) 18:07:21

そのネタ高木貞治に聞いたってうちの教授が

0028ニュートン

2008/02/13(水) 07:59:31

ディリクレの関数をショケ積分で、積分しなさい。

0029１３２人目の素数さん

2008/02/15(金) 08:24:37

結局、応用する立場からすれば、
るべーぐ積分を認めてしまえば
0集合上の積分は0
収束定理、フビニの定理が成立する
ってことだけでいいのかな？
実際、黒田の関数解析の付録にはルベーグ積分を如何に定義するかはすっとばして、
ルベーグ積分ではXXの事実が成立するってことだけ紹介して、本書の関数解析はこれで必要十分
って書いてるんだけど

0030１３２人目の素数さん

2008/02/15(金) 08:28:06

リーマン積分の範囲だと関数空間とみなせない、というところがわからないです。

完備の話があると思うのですが、このあたりの理解も微妙です。
僕の理解だと、「積分を集合論的裏づけのある形で定義できる」ということなのですが、良いですかね？

ストーリーとしてはこういうことです。集合論では、濃度みたいなことを中心に議論をしているわけですよね。
それに対して、位相論の場所では、「距離」みたいなものが問題になってくる。
この中で、二次元だとデカルトの座標の世界だと、すごく直感的に明らかな「距離」なるものが定義できる。
でも、４次元やｎ次元などですと、まるで意味が分からない世界の中に「距離」を定義しないといけないわけですよね。
そういった距離を定義する中で、ベクトル的な議論で距離を定義するとすごく合理的だと。そして、これをベクトル空間（内積空間）と名づけるわけです。

この議論の中で、n→∞とし、「完備性」をいれてやれば、ヒルベルト空間の完成です。
完備性とは、内積空間にコーシー列、つまり、「連続性」を加味してやったものですから、
ヒルベルト空間とは、非常に直感的に明らかな空間なわけです。次元が無限で、その中で普通の演算（掛けたり微分したり）ができる

こういった空間の中で、リーマン積分だと問題が起きるってのがわからないです。
ヒルベルト空間における次元の無限性に何かが引っかかるのですかね？

0031１３２人目の素数さん

2008/02/15(金) 08:37:06

「会社員」が来てるのか

0032１３２人目の素数さん

2008/02/15(金) 12:21:52

延々とストーリーを語るうちに自信たっぷりになってきて
壮大なフィナーレかと思いきやいきなり墜落するところにﾜﾗﾀ

勉強しないでワカランと言ってるようにしか見えん

0033１３２人目の素数さん

2008/02/15(金) 12:36:00

>>32
ただ自己紹介してるだけなんだからそっとしといてやろうぜ

0034１３２人目の素数さん

2008/02/15(金) 23:11:15

>>14
ほとんどすべて

0035１３２人目の素数さん

2008/02/16(土) 18:16:46

みゃ、みゃーー

0036ＺＥＵＳ

2008/02/20(水) 14:36:00

あげ

0037１３２人目の素数さん

2008/03/21(金) 22:15:53

king

0038１３２人目の素数さん

2008/04/22(火) 18:40:35

s>0とする．
∫_[0,∞) {(sin x)/x}dx
を求めよ．

0039１３２人目の素数さん

2008/04/22(火) 20:14:11

ルベーグ積分とジョルダン細胞にはある関係をもつ。また、ζ(3)を
ジョルダン細胞との関係も述べよ。
↑おいらが発見した
価値は皆無だが

0040１３２人目の素数さん

2008/05/06(火) 01:55:52

>>12
ﾊｧﾊｧ…ちょっと待ってろ

0041１３２人目の素数さん

2008/05/06(火) 03:13:24

A0:{0,1}→{0,1}
A1:{0,1,2,3}→{0,2,1,3}
A2:{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}→{0,4,2,6,4,5,3,7,5,9}
A3:{0～27}→{0,8,4,12,8,10,6,14,10,18, 14,16,12,14,13,15,11,13,9, 17,13,21,17,19,15,23,19,27}
...
みたいにAiを構成して
fi:(0,1)→Rをfi(n/3^i)=Ai(n)/3^i (n=1,2,...,-1+3^i)となるようなC^∞関数にすれば
関数f1,f2,f3,...の各点収束先の関数fが>>12の[2]を満たさんかね

0042１３２人目の素数さん

2008/05/06(火) 03:52:55

>>41
その文面では、Aiがどのように作られているのか全然分からないｗあと、
＞関数f1,f2,f3,...の各点収束先の関数fが>>12の[2]を満たさんかね
これはもっと分からない。微分可能な関数列fnの各点収束関数fが再び
微分可能であるとは限らない。各xに対してlim[h→0]{f(x＋h)－f(x)}/h
が存在することを、fiの定義に従って地味に計算するのかな？その場合、
fiがC^∞級であることがどのように効いて来るのか。

0043１３２人目の素数さん

2008/05/06(火) 19:24:16

>>42
>微分可能であるとは限らない。
限らないのは分かるがなんとなく微分可能な関数になりそうな気がしたんだが
その後確かめてみたら微分不可能な点だらけだったので考え直す

正解じゃないからどういう関数を作るつもりだったのかはまた今度で

0044１３２人目の素数さん

2008/05/10(土) 03:53:31

リーマン予想を一般化し、解け

0045１３２人目の素数さん

2008/05/10(土) 11:59:39

>>44
ルベーグ積分に関する問題？

0046１３２人目の素数さん

2008/05/13(火) 16:17:23

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰﾍﾟｯ!!

0047１３２人目の素数さん

2008/07/05(土) 19:36:50

949

0048１３２人目の素数さん

2008/07/08(火) 01:58:03

ここのガウスとかゼウス＝昔大学受験版にいたゼウス。
ちなみに私文。

0049１３２人目の素数さん

2008/09/08(月) 21:59:50

973

0050１３２人目の素数さん

2008/10/26(日) 12:30:04

543

0051１３２人目の素数さん

2008/11/27(木) 00:48:46

うるさい。

0052１３２人目の素数さん

2008/11/29(土) 05:52:31

(Ω,Σ,μ)を測度空間とする。{f_n}が測度Cauchy列⇒その部分列はあるfに殆ど一様収束する。

(Ω,Σ,μ)を測度空間とする。
測度Cauchy列の定義は
「E∈Σ,0<∀ε,lim[m,n→∞]∃K∈N;K<m,n∈N⇒lim[m,n→∞]μ({x∈E;|f_m(x)-f_n(x)|≧ε})=0」

殆ど一様収束の定義は
「0<∀ε∈R,E⊃∃Z∈Σ such that μ(Z)=0 且つ f_nはfにE＼Z上で一様収束する」

だと思います。

{f_n}が測度Cauchy列⇒その部分列はあるfに殆ど一様収束する。

を示したく思っています。

[証]
仮定より
E∈Σ,0<∀ε,lim[m,n→∞]μ({x∈E;|f_m(x)-f_n(x)|≧ε})=0
で「{f_n}が測度Cauchy列なら{f_n}はあるfに測度収束する」という命題があったかと思います。
それから、{f_k}の部分列を{f_(i_k)}とすると、、、、
それからどのようにして証明できますでしょうか?

0053１３２人目の素数さん

2008/11/29(土) 20:57:14

>>52

＞「{f_n}が測度Cauchy列なら{f_n}はあるfに測度収束する」という命題があったかと思います。

ならコーシー列うんぬんはもう考えなくてもよくて、要するに
f_n→f (測度収束) ⇒ {f_n}のある部分列がfにほとんど一様収束
を示せばいい。

その証明はけっこう骨があるよ。技術的には
f_n→f (測度収束) ⇒ {f_n}のある部分列がfにa.e.収束
の証明とエゴロフの定理の証明を合わせたような証明をする必要がある。

だから最低でもこれら２つの定理の証明は理解している必要があるけど、それは
大丈夫？
（大丈夫だったとしても、>>52のような丁寧さで一から書いていくと本の1ページ分
くらいにはなるから、ここに書く気はしないがｗ。せいぜいヒントくらい。）

0054１３２人目の素数さん

2008/11/30(日) 06:02:38

>53

> （大丈夫だったとしても、>>52のような丁寧さで一から書いていくと本の1ページ分
> くらいにはなるから、ここに書く気はしないがｗ。せいぜいヒントくらい。）

そんな大変なんですか! 知りませんでした。

0055１３２人目の素数さん

2008/11/30(日) 13:55:15

>>54
主張を見れば、エゴロフの定理や、測度収束とa.e.収束の関係定理の類似だってことくらい
わかるだろ。そんでそれらの証明はどの教科書にも載ってるんだから、それ見りゃ大体どんな
証明になるかくらいの見当はつくだろ。

そんな基本的な定理も知らずに、調べもせずに、こんな問題解きたがるのはなんでだ？
上の定理を示した章の章末問題とかのはずだぞ？
大学のレポートなら自分でやれ。

質問スレでも、重積分すら知らないレベルでガウス積分の求め方とか聞いてたヤシが
いたが、それと同類だな。

0056１３２人目の素数さん

2009/01/11(日) 08:24:38

522

0057１３２人目の素数さん

2009/01/29(木) 13:25:23

207

0058１３２人目の素数さん

2009/02/19(木) 21:47:36

age

0059１３２人目の素数さん

2009/02/19(木) 22:00:45

なんか変な問題ｷｳﾞｫﾇ

0060１３２人目の素数さん

2009/02/20(金) 20:12:03

別に変じゃないけどちょっと答えに驚いた問題
lim[k→∞]∫[0,k]x^n(1-x/k)^kdxを計算せよ

0061１３２人目の素数さん

2009/04/25(土) 11:37:16

505

0062１３２人目の素数さん

2009/05/08(金) 13:45:16

>>60
∫[0,∞] x^n exp(-x) dx との差を評価して…できるかな？

というか
どう計算してもルベーグ積分使わない？

0063１３２人目の素数さん

2009/05/09(土) 17:55:16

age

0064１３２人目の素数さん

2009/05/10(日) 04:09:38

ルベーグ使えばdominated convergenxe thmですぐ証明できる。
ルベーグ使わなくても幽界閉区間でe^（-z）に一様収束することと
講義積分の定義から直接証明できる。行数は多くなるが。

0065１３２人目の素数さん

2009/07/10(金) 08:06:56

485

0066１３２人目の素数さん

2009/08/18(火) 10:14:27

935

0067１３２人目の素数さん

2009/09/27(日) 14:14:42

とりえずはっとく
ttp://web.econ.keio.ac.jp/staff/hattori/inmon.htm

0068火狐

2009/10/27(火) 11:19:18

積分記号下微分とルベーグ収束定理を組合わせて、なんかおもしれー問題

ね　え　　　　か　　　　　な　　　？

0069１３２人目の素数さん

2010/02/04(木) 17:11:38

595

0070１３２人目の素数さん

2010/03/10(水) 17:12:53

194

0071１３２人目の素数さん

2010/05/07(金) 19:37:48

532

0072１３２人目の素数さん

2010/06/12(土) 17:20:12

解析問題ゼミに色々載ってるよ！

0073１３２人目の素数さん

2010/06/13(日) 11:12:00

age

0074１３２人目の素数さん

2010/06/13(日) 23:21:56

∫_[0,1] x^2 d x
limΣ2(1-(i/n)^.5)(1/n)
lim2-2(1/n)^1.5Σ(i)^.5
lim2-2(1/n)(2/3)(n)^1.5
2-2(2/3)1
2/3

また無駄な計算をしてしまった。

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