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【sin】高校生のための数学の質問ｽﾚPART162【cos】

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0001１３２人目の素数さん2008/01/31(木) 01:54:54
夜､明日提出の宿題をやっているとき

(･∀･)やった!あと1問!
･･････!!?
(ﾟДﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ
(ﾟДﾟ)ﾊｧ?ﾅﾆｺﾉﾓﾝﾀﾞｲ?
ヽ(`Д´)ﾉｳﾜｧｧﾝ!!ﾜｶﾝﾅｲﾖｫ!!!

･･･てな時に､頼りになるかもしれない質問ｽﾚｯﾄﾞだお(ﾟﾛﾟ)



数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/

前スレ
【sin】高校生のための数学の質問ｽﾚPART161【cos】
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1201341751/
01531442008/01/31(木) 23:54:44
>>152
行列って分かってるんでしょ？？
0154１３２人目の素数さん2008/01/31(木) 23:54:57
>>118

θの範囲が円周1周分（0≦θ≦2*π）でないので、αがその範囲にあるかどうかは非常に重要です。
この手の問題は、単位円を書いて、その一部のみがθの変域であることを認識する必要があります。


（解法1）
x=cosθ, y=sinθとおくと、
単位円の第一象限部分がθの変域で、
k=-sinθ+3cosθ = -y + 3x は、y = 3x - k と変形できますから、
kの最大、最小を与えるのは、単位円の接線式でないことがわかります。


（解法2）
合成公式より、
k=-sinθ+3cosθ = √10 * sin(θ+α)
αは、cosα=-1/√10、sinα=3/√10 なので、第2象限の角度になります。
＜このとき、単位円を書いてαの値とθの範囲をイメージする。＞
したがって、kは、θ=0のとき最大、π/2のとき最小をとります。
0155１３２人目の素数さん2008/01/31(木) 23:55:12
>>147
降参です
解りません
0156１３２人目の素数さん2008/01/31(木) 23:55:31
主な公式と記載例

(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3
a^3±b^3=(a±b)(a^2干ab+b^2)

√a*√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)、 √(a^2b)=a√b　[a>0、b>0]
√((a+b)±2√(ab))=√a±√b [a>b>0]

ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)=0 [a≠0、α+β=-b/a、αβ=c/a]
(α,β)=(-b±√(b^2-4ac))/2a

a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)=2R [正弦定理]
a^2=b^2+c^2-2bccos(A) [余弦定理]

sin(a±b)=sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b) [加法定理]
cos(a±b)=cos(a)cos(b)干sin(a)sin(b)

log_{a}(xy)=log_{a}(x)+log_{a}(y)
log_{a}(x/y)=log_{a}(x)-log_{a}(y)
(log_{a}(x))^n=n(log_{a}(x))
log_{a}(x)=(log_{b}(x))/(log_{b}(a))　[底の変換定理]

f'(x)=lim_[h→0] (f(x+h)-f(x))/h [微分の定義]
(f±g)'=f'±g'、(fg)'=f'g+fg'、(f/g)'=(f'g-fg')/(g^2) [和差積商の微
0157１３２人目の素数さん2008/01/31(木) 23:56:36
分」
01581442008/01/31(木) 23:57:27
M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...]',[0,1,0,...],...]
ってどう考えても見にくい上書きにくいので上記の書き方にしました。
誰か答えてください。
0159１３２人目の素数さん2008/01/31(木) 23:57:28
頭固い奴らだなー。
行列ってわかればそれでいいだろ。
プログラミングじゃあるまいし
0160１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 00:03:29
>>159
じゃあおまいさんが答えてやりな
01611442008/02/01(金) 00:04:20
どう考えても151の方が見やすいと思うんですが・・・
0162１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 00:04:52
>>155
まず、>>147のような図を考える。
線分ADと線分CEの交点をFとすると、AB//EC,BC//ADより、平行四辺形ABCFの面積を
２通りに考えて、AB×ω＝BC×ω　ゆえに、AB＝BC
同様に考えて、AB＝BC＝CD＝DE＝EAがわかる。
つまりこの問題のミソは、紙テープの幅が、五角形の内側にある平行四辺形の高さになっている
ことだったわけだ
0163１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 00:10:24
>>162
ありがとうございます
これで宿題が済みました。これを解ける中学生は凄いですねw
01641622008/02/01(金) 00:11:30
>>155
ごめん、まだその証明では不十分かもしれない。
５つの辺の長さが全て等しいからといって、正五角形を証明したことにならない
01651442008/02/01(金) 00:16:29
点(x,y)の点に例の移動をさせる式は、
(-1 0) (cosα -sinα) (x+b)-(b)
(0 -1) (-sinα cosα) (y )-(0)
こうですかね？

直線の下に点がある場合です。
また、bは、原点を通らない直線を原点を通らせるようx座標の方向へ
動かす大きさです。
0166１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 00:18:48
>>165
これまでの式は全部違うと思う
0167１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 00:18:57
>>164
もう一つ証明したいことがあるのだが、さっきの図で、角度ADEと角度CEDが
等しいことを示してほしい。そうすれば三角形ADEと三角形CDEが合同になるので、
五角形の５つの角が等しくなることが分かるから大丈夫。
分からなかったらまた書き込んで下さい
0168１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 00:21:39
>>144

行列の表し方の問題もありますが、何より題意が明瞭ではないのが気になります。
おそらく、以下のような問題でしょうか？。


＜問題＞
点P(x,y)を直線L:y=ax+bで線対称に移動させた点Q(X,Y)とするとき、
X,Yを、x,y,a,bを用いて表せ。
できれば、行列の演算式で表せ。
※傾きaなので、cosα=1/√(1+a^2)、sinα=a/√(1+a^2) と置くことも可能。

＜解法のヒント＞
PQ⊥直線L
PQの中点が直線L上
の2式の連立方程式を解く。
もしくは同意であるが、X,Yの係数を逆行列を掛けることで払ってもよい。
01691442008/02/01(金) 00:26:53
>>168
x軸切片がb
行列の移動で解きたい。
何か違いますか？
0170１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 00:27:38
>>165
点を移動させる式なんてものはない
とにかく式の記法も含め題意を明確にしてほしい
0171１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 00:32:22
>>165
手伝ってやりたいけど、この問題の書き方じゃさっぱりわからん。
問題の書き方も行列の書き方も無茶苦茶…

問題をそのまま書いてくれ
01721442008/02/01(金) 00:35:00
平面上に６０度で交わる２直線l,mがある。
この平面上に点Ｐ１をとり、Ｐ１と直線lについて対象な点をＱ１（あと省略）
とする。
で、Ｐ１が(x,y)のときのＱ１の座標が知りたい。
0173１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 00:36:32
これ答がないので出してくれるとありがたいです。

△ABCにおいて、次の値を求めよ。ただし、Rは△ABCの外接円の半径である。
b=8、 A=45°、 B=60°のとき、aおよびR
0174１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 00:40:07
>>163さんのために証明書いときますね。これ実は開成高校の入試問題の（２）でした。
まず、ED//ACより、角ADE＝角DAC
次に、AD//BCより、角DAC＝角BCA
さらにAB＝BCより、角BCA＝角BAC
そしてAB//CEより、角BAC＝角ACE
最後にAC//DEより、角ACE＝角CED
よって、角ADE＝角CEDがわかる。
この事実により、三角形ADEと三角形CDEが合同になることがわかるので、角AED＝角CDEがわかる。
同様にして、五角形の５つの角すべてが等しくなることが分かるので図形ABCDEは正五角形がわかる。

てか、>>163さんはもう寝てしまわれたかな？
0175１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 00:41:11
>>172
その条件だけでは求められない
0176１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 00:41:20
>>173
正弦定理
0177１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 00:41:50
>>173
正弦定理
01781682008/02/01(金) 00:43:00
>>172

> （あと省略）
その省略している部分が知りたい。。。。

てっきり、原点を通る直線y=ax(=tanα*x)に対しての線対称移動の行列表記を習った後に、
原点を通らない場合の線対称移動についても行列表記を知りたくなったため、
自作か何かした問題かと思ってました。。。。
01791442008/02/01(金) 00:43:56
平面上に６０度で交わる２直線l,mがある。
この平面上に点Ｐ１をとり、Ｐ１と直線lについて対象な点をＱ１（あと省略）
とする。
で、Ｐ１が(x,y)のときのＱ１の座標が知りたい。

>>169に書いてある通り直線のx軸切片がb

これでは出せない？
01801732008/02/01(金) 00:48:55
レスしてくれた方ありがとうございます。計算してみました。

解はa=√6/16 R=√2/12で合ってますか？
0181１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 00:51:01
間違えました分子と分母逆です
0182１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 00:52:56
違う
01831682008/02/01(金) 00:54:34
>>179

> （あと省略）
その省略している部分が知りたい。。。。

答えようとしている人たちも、イライラして脱落したんじゃなかろうか。
かくいう私も脱落しそうです。

問題文のコピペか、エスパーが必要です！。
0184１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 00:57:01
それ以前におまえの文章が読みにくい
0185１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 00:57:22
主な公式と記載例

(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3
a^3±b^3=(a±b)(a^2干ab+b^2)

√a*√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)、 √(a^2b)=a√b　[a>0、b>0]
√((a+b)±2√(ab))=√a±√b [a>b>0]

ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)=0 [a≠0、α+β=-b/a、αβ=c/a]
(α,β)=(-b±√(b^2-4ac))/2a

a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)=2R [正弦定理]
a^2=b^2+c^2-2bccos(A) [余弦定理]

sin(a±b)=sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b) [加法定理]
cos(a±b)=cos(a)cos(b)干sin(a)sin(b)

log_{a}(xy)=log_{a}(x)+log_{a}(y)
log_{a}(x/y)=log_{a}(x)-log_{a}(y)
(log_{a}(x))^n=n(log_{a}(x))
log_{a}(x)=(log_{b}(x))/(log_{b}(a))　[底の変換定理]

f'(x)=lim_[h→0] (f(x+h)-f(x))/h [微分の定義]
(f±g)'=f'±g'、(fg)'=f'g+fg'、(f/g)'=(f'g-fg')/(g^2) [和差積商の微分」
0186１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 00:59:37
>>179さんに一つアドバイスしたいが、普通の平面と座標平面は違うからね
01871442008/02/01(金) 01:01:08
平面上に６０度で交わる２直線l,mがある。
この平面上に点Ｐ１をとり、Ｐ１と直線lについて対象な点をＱ１（あと省略）
とする。
で、Ｐ１が(x,y)のときのＱ１の座標が知りたい。

>>169に書いてある通り直線のx軸切片がb

これでは出せない？

省略した部分が見たいんですか？なら書きます。

Ｑ１と直線ｍについて対称な点をＰ２と定め、以下同様に点Ｑ２、Ｐ３…を定める。

こんなんです。つまり関係ないです。で、移動させる式を知りたいのですが・・・
0188１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 01:02:20
改行うざうざ
0189１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 01:03:13
>>179
２直線l,mが交わる点が実は原点ではないかと思うのだがどうだろうか？
01901442008/02/01(金) 01:06:52
>>189
別に原点とおいても一般性は失いませんが、
原点でない場合の移動の公式が知りたい。さっきみたいに行列を使って。
0191１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 01:07:58
>>190
それで一般化して書いたはずの式が完全にルール違反であったと
そういうことですか
0192１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 01:10:01
でそれを指摘されても素直に直さない

もはや回答してくれるなと言わんばかりの態度
01931442008/02/01(金) 01:10:43
>>191
一般化して書いていない
0194１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 01:14:21
>>179
２直線l,mが交わる点が実は原点であるとしてみよう。この場合さえわかれば大丈夫
もし、>>179さんが想定されているような操作を Ｐ１にほどこした場合、
教科書に書いてあるところの、回転についての行列(cosα -sinα)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(sinα cosα)
において、αが１２０度かー１２０度の場合になるわけだ（どっちかは場合による）
つまりこの行列をAで表すと、Ｑ１＝AＰ１となる
0195１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 01:17:17
次に２直線l,mが交わる点が一般にZであるとしてみよう。
そのときには
Ｑ１＝A（Ｐ１ーZ）＋Zとなる
01961442008/02/01(金) 01:17:19
原点を通る場合はわかるんですか、では通らない場合は？
01971442008/02/01(金) 01:21:43
>>195
てことは一番最初に書いたのであってますかね。
0198１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 01:24:22
あってない
まず回転の行列が良くない気がする
>>194の行列と>>144の行列を見比べてみて
あと、角度が２倍になるからね
0199１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 01:26:24
>>198
なぜか線対称を使ってましたね。原点の位置をずらして、
回転行列を使えばいいだけだったのか…
0200１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 01:26:55
>>198
ごめん、２倍にはならないね、この場合は
0201１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 01:29:01
>>144の問題と>>179の問題は明らかに場合が違うのだが、いいんですか？
0202１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 01:31:33
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0203１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 01:32:03
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0204１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 01:36:18
まあ>>179さんが言われているような操作を図にしてみたら、１２０度回転になっていることが
すぐに分かるから、あとは回転の行列をつかってすぐに出せる
0205１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 01:39:30
記載が難しい場合なら
清書するとか
携帯かなにかで画像をうｐするとか
あるだろう
02061682008/02/01(金) 01:41:13
>>197

有名事実として、
y = x * tanθ に対する線対称移動を行列表現すると、
θラジアンの回転行列をQ(θ)、x軸対称移動の行列をRとして、一般には
Q(2θ)R
となります。
これは証明せずに使うのはNGだと思われるので注意。


原点を通らない場合、たとえばX軸切片の点Zとした場合、
>195
さんがおっしゃっているとおり、
ZQ↑ = Q(2θ)R ZP↑
になりますから、ZQ↑、ZP↑をOZ↑、OP↑、OQ↑の表記になおして整頓すれば
いいはずです。

おそらく、問題は、
直線l：y = x * tanθの線対称移動：Q(2θ)R
直線mの（ｘ軸）線対称移動：R
の積をn乗計算することになり、
RR = E、 Q(2θ)^n = Q(2nθ)を利用して簡略化するんじゃないかな。。。。。
0207１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 01:43:36
sinθが最大ならθが最大ではないですよね？
0208１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 01:44:16
>>207
θの範囲によるんじゃね？
0209１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 01:48:33
0度<θ<90度の時
sinθが最大ならθは最大ですよね？
でもcosθが最大ならθは最大ではないですよね？
0210１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 01:51:47
>>209
その範囲でならな
0211１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 01:52:43
>>209
お前・・・
なんか壮大な勘違いしてないか？
0212１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 01:53:59
ちょwww
したらこれおもいっきり間違いじゃん…
有名予備校に裏切られた
0213１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 01:56:28
>>211ご指摘お願いします。
0214１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 01:56:58
>>212
これって何よ
0215１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 02:07:10
問題書きます。

平面上に
二点A(0,8)B(0,9)
がありP点は直線y=x上のx>0の部分を動くものとする。
このとき∠APBを最大にする点Pの座標をもとめよ。

普通はタンジェントを使って簡単にできますが
別解として内積を使い
cosθ=(ぐちゃぐゃな式)
を微分して増減表からも出来ると紹介されてるのですが…
0216１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 02:17:00
>>215
どっちもうざい解き方
A,Bを通る円がy=xに接するときの接点が求める点Pだろ
0217１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 02:18:16
だから方べきの定理使って得られる(6,6)が求める点Pじゃないの？
0218１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 02:18:30
>>215
そのぐちゃぐゃな式って何よ
0219１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 02:19:40
√(2)sin(x＋π/4)=0

のxを求める問題なんですが・・
お願いします
0220１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 02:20:32
それも紹介されてるがあんまり応用できないからオススメできない言ってた。
これ先生が間違ってるんですか？
0221１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 02:22:47
>>219
sinの値が0になるのは角がπの整数倍のとき
0222１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 02:25:36
>>220
正しいよ、それは。少しトリッキーな感じがする。
0223１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 02:31:27
>>217そうですが先ほど書いたことに加えて試験中思いつかないだろうと言ってました。
>>218
y=x上の点Pを(t,t)とおいて
PA(ベクトル)
PB(ベクトル)とそれぞれの長さを求めて内積を利用するやり方で
ルートがついていて計算するにはめんどくさい式です。
ちなみに入試問題にはわざと誘導をつけて
このようなめんどくさいやり方でやらせる大学もたまにあると言ってました。
0224１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 02:36:22
グラフ系の問題やベクトルの問題は
幾何的に解く→数式使うだろ。常考。

確かに、幾何的なやり方は気づくかどうかの世界だから
tan使うのが模範解答で方べき使うのは別海だろう。
内積使うのはありえん。
0225１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 02:37:15
>>221
解決しました。
ありがとうございました
0226１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 02:45:11
なぜに有名な講師が答えを導けない方法を紹介するか…
0227１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 04:02:21
底面の半径がr、母線の長さがaである円錐がある。この円錐の表面積をSとするとき、aをS、rの式で表しなさいという問題が分からなくて答を見たんですが、途中式のS＝πaの自乗×r/a＋πrの自乗
のところでr/aが何であるのかよく分からないのですが誰か分かる方いらっしゃいますか？
0228１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 04:06:38
>>227

側面（扇形）の，中心角/360°に相当する。
0229１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 04:10:52
解説加えとく。

側面の中心角をαとおく。
底面と側面の円周が等しいのだから，
2πr = 2πa * α/360
r/a = α/360

側面と底面で，円周の長さをあわせるため，
半径と中心角が逆比になってるんだね。
0230１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 04:59:02
・・・
【sin】高校生のための数学質問スレPART159【cos】
【sin】高校生のための数学質問スレPART160【cos】

【sin】高校生のための数学の質問ｽﾚPART161【cos】
【sin】高校生のための数学の質問ｽﾚPART162【cos】


この数学板で伝統ある高校生スレ

前スレからスレタイに、数学"の"がある
スレが半角のｽﾚになっている
0231１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 05:12:13
(Xの二乗+X-1)の１０乗を微分した時の答え教えてください！！
0232１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 05:23:28
>>231
>>1-4
0233１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 05:28:36
(x^2+x-1)^10の微分
こうですかね？？
0234１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 05:37:30
>>233
合成関数の微分
0235１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 05:40:11
>>233
定跡（基本的解法）としては
X=x^2+x-1 とでもおくと
X^10 になり"合成関数の微分"にて進める

以下、相当にわずらわしくお勧めできない解法をあえて載せる

(x^2+x-1)^10 を展開し各項を項別微分…
0236１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 06:08:17
>>234-235
ありがとうございます。
0237１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 09:14:42
しつこくてすみませんが
>>225確認なんですがこれは間違ってますよね？
0238１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 09:15:53
225ではなく
>>215でした。
0239１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 09:17:42
答えが出るならあってるだろう
0240１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 09:26:35
計算めんどくさすぎてできません。
t~2+(8-t)(9-t)/√｛t~2+(8-t)~2｝×√｛t~2+(9-t)~2｝
これを微分して増減表はめんどい。ってか無理。
0241１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 09:28:29
>>240
なんで？
0242１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 09:31:49
明日試験っていうのにこんな計算に時間かけたくない…
0243１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 09:34:35
どういうもんだい？
0244１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 09:38:52
>>215です。
0245１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 09:46:48
>>215
それよりその別解のほうが気になる
0246１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 10:01:49
だから今その別解の話してるんです。
0247１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 10:03:56
X=2m~2/m~2-1
Y=2m/m~2-1

をm≠±1でmを消去する途中式を教えて下さい
0248１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 10:06:01
>>246
あ、そうなのか
悪い悪いｗ
その別解書くかシャメでアップするかしたら説明するけど
ちょっと塾の時間だからあまり時間がない
0249１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 10:10:12
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1200664753/717
0250１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 10:25:48
>>247
X/Y=?
0251１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 10:33:28
>>250

答えは(X-1)~2-Y~2=1になるんですがどうしてそうなるかわかりません
0252１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 10:36:36
>>251
せっかくヒントもらったんだから、まず>>250を計算してみろよ
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