>>687
∫[-∞,∞]exp(-(x^2))dx=√πより
(∫[-∞,∞]exp(-(x^2))dx)^2=πなので、こちらを求めます。
(∫[-∞,∞]exp(-(x^2))dx)^2
=(∫[-∞,∞]exp(-(x^2))dx)*(∫[-∞,∞]exp(-(y^2))dy)
=∬[-∞,∞]exp(-(x^2)-(y^2))dxdy
となります。

ここで、範囲をER={(x,y)|　|x|≦R、|y|≦R}として、
∬[ER]exp(-(x^2)-(y^2))dxdyを考えます。
これは対角線の交点が原点となる一辺が２Rの正方形の面積と考えられます。
また、範囲をBR{(x,y)|　x^2+y^2≦R^2}とした場合を考えると、
∬[BR]exp(-(x^2)-(y^2))dxdyは、
先ほどの正方形に外接される原点を中心とした円の面積です。
∬[√2BR]exp(-(x^2)-(y^2))dxdyは、
正方形に内接される原点を中心とした円の面積です。

面積の大きさは、外接される円≦正方形≦内接される円なので、
円の面積を求めて、Rを無限大に飛ばしてやれば、はさみうちの原理から求める式が示されると思います。
面積を求めるときは極座標変換を行えばよいかと。

何か間違いがあれば修正お願いします。