数研の数学難問集100の2番の問題です。

(問題文引用開始)
nは2以上の整数とする。
(1)nで割ると1余る正の整数はnと互いに素でることを示せ。
(2) (n-1)n(n+1)の正の約数の中で、nで割ると1余るものをすべて求めよ。
[お茶の水大]
(問題文引用終了)

(2)で(1)を利用して、その約数xはn-1の約数aとn+1の約数cを用いてx=ac=pn+1(ただしp=0,1,2,3,…)と表せる事までは分かりましたが後が続きません。
模範解答を見ると、

(引用開始)
acは(n-1)(n+1)の約数であるから
ac≦(n-1)(n+1)
よって
pn+1≦n^2-1
から
n^2-pn-2≧0
「この不等式が2以上のすべての整数nについて成り立つから
f(n)=n^2-pn-2
とおくと
f(2)≧0」
ゆえに
p≦1
(以下略:引用終了)
(注意:「　」は引用者が付けました)

として解いていますが、なぜ「　」内が成立するかがわかりません。問題文を見ると与えられた各nについて成り立っていれば良いだけですべてのnについて成立する必要は見えないのですが。
n=2の時のp,n=3の時のp,…が別々に各不等式を満たすのであってすべてのnについて成り立つとは言っていないと思うんですが何故なのでしょうか。教えて下さい。よろしくお願いします。