複素積分の幾何学的な意味は何かと思うのは当然の疑問だと思うが、
例えば線型代数の4次元、5次元・・・のベクトルだって図示することはできない。
それでも2次元や3次元の延長上で道具として使えるわけだ。
複素積分も図には書けないが、ある程度実積分でやってきた感覚が
働く世界ができることに意味がある。

それどころか、複素積分は実数の場合から見ると信じがたい性質を持っており、
ずっと鮮明で、しかもとても役に立つ。
たとえば、∫[0,∞)sin(x)/x dx　は、実数の積分で考えると大変困難だが、
複素積分を使えば非常に簡明に計算することができる。

だから複素積分自体の幾何学的な意味を考えることはあまり意味がない。
（というか複素関数自体、幾何学的にはイメージできないはず。）
複素積分の定義はこう、だから性質はこう、と割り切って先に進むべき。

長文失礼。