>>415解けた！と思ったら先着が・・・
自分はx^3+y^3+z^3=8⇔(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3=8⇔z^3=6xyが出てきて
xy=a(aは実数)とおき、これとx+y=2を用いて解と係数の関係でx,yを解にもつ
二次方程式を作り、これが実数解をもつことからa≦1がいえる。

a≧1でf(a)=x^2+y^2+z^2=4-2a+(6a)^(2/3)を考えて
微分して(微分する際aが分母にくるので０とそうでないときで場合分けし)
増減を調べてやっと解けた・・・

そして二番は(6a)^(1/3)=zよりってそしたら>>416の方の式が・・・
416の方の方針でやってみてください。