a,b,cをa,b,c=1を満たす正の実数とする。
次の不等式を示せ。

(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)≦1

展開したら意味不明になりました。


a=x/y, b=y/z, c=z/x
(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)≦xyz

u=x-y+z
v=y-z+x
w=z-x+y

このうちどの２つの和も正であるので、
u,v,wのうち負であるものは１つ以下である。

u,v,wのうち1つが負の場合、uvw≦0≦xyzとなる。
全てが正の場合は、

√(uv)=√{(x-y+z)(y-z+x)}≦{(x-y+z)+(y-z+x)}/2=x
√(vw)≦y
√(wu)≦ｚ

yotte、uvw=xyz

題意は示された。



これで大丈夫でしょうか?