行列の問題です。
P=[[1,2],[2,4]],Q=[[2,0],[-1,2]]に対して、A[1],A[2],A[3]...を帰納的に定義する。
A[1]=[[2,1],[1,1]] ,A[n+1](P+QA[n])=A[n]とした場合に、A[n]が逆行列をもつことを示して、A[n]を求めよ。

という問題ですが、ケーリー・ハミルトンの公式を使えばいいということは何となくわかるのですが、
どのようにして、適用していいかがよくわかりません。また、A[n]の逆行列の存在を示すときも、
帰納法で、無理矢理detA[k+1]をとる意外に思いつかず、それをやるとかなり計算が面倒になってしまうので、どうしたらいいかわかりません。
どなたか、よろしくお願いします。