>>891じゃないが同じ答えが出たので(見かけ上違うが)
Aから放射状に光を発したと考えると、AとSの中心を結ぶ直線に垂直な面に
できるSの影は円になる。いま、xy平面はこれの直線に対して斜めなので
Dは楕円になるはず。

Cは円になるはずで、また点(0,0,1)は明らかにPとしての条件を満たすから、
Cは球Sと、点(0,0,4)を中心とする半径3の球x^2+y^2+(z-4)^2=9の交線。
ふたつの式の差を取ると2y-6z=-6⇔z=(1/3)y+1で、交線上の点はこれを満たす。

また、yz平面での断面は円(y-1)^2+(z-1)^2=1が、
(0,0)、(3,0)、(0,4)を頂点とする直角三角形に内接している状態。
(座標は(y座標、z座標)。
(3,0)は、たとえば(4,0)を頂点とするところの角が、
　(0,1)-(0,4)-(1,1)を結ぶ角の倍であることから出せる)
従って(0,0,0)と(0,3,0)を結ぶ線が楕円Dの長軸であり、
この中点(0,3/2,0)が短軸と長軸の交点。

Dの短軸をなす2点と(0,0,4)を結ぶ直線のSとの接点のy座標・z座標は、
yz平面で考えると、(y,z)=(0,4)と(3/2,0)をを結ぶ直線と、
さきのz=(1/3)y+1の交点として得られるはず。これを求めると
(y,z)=(1,4/3)で、このy座標・z座標に対応するS上の点は
(±(2/3)√2,1,4/3)。Aとこの点を通る直線がxy平面と交わる点は
(±√2,3/2,0)で、これを結んだものがDの短軸。
従ってDはx^2/2 + 4(y-3/2)^2/9=1

前述のyz平面による断面から考えると、体積は
長軸の長さ3、短軸の長さ2√2の楕円を底面とし、高さ4の斜楕円錐から
底面の半径3/√10、高さ9/√10の円錐を切り取った量
1/3π((1/4)*3*2√2*4 - (3/√10)^2*9/√10)
=1/3π((6√2 - 81/10√10)
=(2√2-27/10√10)π