掃き出し法って聞いたことないから調べたんだが、普通に一文字ずつ消去すればいいんかい？
x+5y-4z=-2・・・A
x+2y-z=a・・・B
2x+y+z=5・・・C
A-Bより
3y-3z=-2-a・・・D
2B-Cより
3y-3z=2a-5・・・E
DかつEが解を持つ条件は
-2-a=2a-5　a=1