>>493
入試に直接でない話だけど、関連話題は出るからねぇ。
すごく直感的な捉え方として、多項式関数だったらどうなるか考えてみましょう。

ある関数f(x)があって、f(0)=-4、f'(0)=3、f''(0)=8、f'''(0)=18、これ以上微分したら
常に第ｎ階導関数に0を代入した値は0、だったとする。f(x)が多項式関数だったら
どんな関数か。

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d だろうという見当はつく。
f(0)=-4だから、定数項-4は確定。
f'(x)=3ax^2+2bx+c に0を代入した値が3ってんだからc=3。もとの2次以降の項が
　微分された結果の項にはまだｘが残ってる。定数項は消えてしまう。
　だから、0を代入することで残るのはx^1の項の係数だけ。
f''(x)=6ax+2b　同様に、元々2乗だった項の係数だけが値8に影響する。ただし、
　2乗だったことに由来して、元の2乗の係数の2倍と等しくなる。
f'''(x)=6a これも、元々3乗だった項の係数だけが影響しているけれど、
　3乗→2乗→1乗→定数となったので、元の2乗の係数の3!倍になる。
これで元の関数は決められる。

こうしたプロセスを繰り返せば、「x^nの係数は、元の関数をｎ回微分して
x=0を代入した値をn!で割ったもの」として導ける。これがもし、無限に
（あるいは任意回）繰り返せるとしたら？　ここで示した手続きで
導ける多項式関数で、元の関数が表せることになる。たとえ、
元の関数が多項式関数の形をしていなくても(!)

数学的にはきわめて粗雑な議論なのだけれど、あくまで感覚的には
こんな理解をしておけばいいんじゃないかと。