サイコロが１の目を上面にして置いてある。向かいあった一組の面の中心を通る直線のまわりに90°回転
する操作をくりかえすことにより、サイコロの置きかたを変えていく。ただし、各回ごとに、回転軸および回転
する向きの選びかたは、それぞれ同様に確からしいとする。
　第ｎ回目の操作のあとに１の面が上面にある確率をp(n)、側面のどこかにある確率をq(n)、底面にある確率
をｒ(n)とする。

(1)　p(1),q(1),r(1)を求めよ。
(2)　p(n),q(n),r(n)をp(n-1),q(n-1),r(n-1)で表わせ。
(3)　p=lim[n→∞] p(n)、q=lim[n→∞] q(n)、r=lim[ｎ→∞] r(n)　を求めよ。(1982東大理系）

(1)
上面と底面を通る軸を選んで、どちからに回転させると上面の１のままだから、p(1)=1/3
側面を通る２つの軸のどちらかを選んで、どちらかに回転させると１は側面に移動するから、q(1)=2/3
１回で底面にくることはないので、r(1)=0
(2)
(1)の考え方より、
p(n)=(1/3)p(n-1) +(1/6)q(n-1)
q(n)=(2/3)p(n-1) +(2/3)q(n-1) +(2/3)r(n-1)
r(n)=(1/3)r(n-1) +(1/6)q(n-1)
(3)
p(n-1)+q(n-1)+r(n-1)=1だから、
q(n) =2/3
p(n) =(1/3)p(n-1) +1/9　より、
　p(n)-1/6=(1/3)(p(n-1)-1/6)=(1/3)^(n-1)*(p(1)-1/6)=(1/3)^(n-1)*(1/6)
　p(n)=(1/6){1+(1/3)^(n-1)}
r(n)-1/6=(1/3)^(n-1)*(r(1)-1/6)
　r(n)=(1/6){1-(1/3)^(n-1)}
となり、p=r=1/6、q=2/3

これは、p+q+r=1だから、r(n)は求めなくてもよいのでしょうか？