e^(ix)の微分可能性と、微分結果について高校生の質問スレのほうで質問したのですが、高校の範囲では難しいかもしれないということで、こちらに投稿させていただきます。
(eはネイピア数、iは虚数単位)

あと、オイラーの公式が成り立つという前提で次のような証明を考えてみたのですが、どなたか検証お願いします。

オイラーの公式により
e^(ix)=cosx + i*sinx
がなりたつものとし、e^(ix)の微分を行う。
ただし、ここでiは虚数単位、eはlim_[h→0](1+h)^(1/h)によって与えられるネイピア数である。
(e^(ix))'=(cosx + i*sinx)'　
=(cosx)' + i*(sinx)'
=-sinx + i*cosx
=(1/i)(-i*sinx - cosx) (∵i^2=-1
=-(1/i)(cosx + i*sinx)
=i(cosx + i*sinx) (∵i^2=-1 ⇔i=-(1/i)
=i*e^(ix)