[【大学入試】ワンランク上の数学質問スレNo.2]
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0001１３２人目の素数さん
2007/11/30(金) 20:02:26【大学入試】ワンランク上の数学質問ｽﾚ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1170481008/l50
問題のおもしろさ、新旧比較、解法のおもしろさを検討するスレッドです。
一般レベル問題の質問は↓↓
【sin】高校生のための数学の質問ｽﾚ【cos】
0002１３２人目の素数さん
2007/11/30(金) 20:03:03【sin】高校生のための数学質問スレPART153【cos】
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1196074672/l50
0003にょにょ ◆yxpks8XH5Y
2007/11/30(金) 20:58:000004１３２人目の素数さん
2007/11/30(金) 21:12:270005１３２人目の素数さん
2007/11/30(金) 21:35:59http://ex23.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1195333139/l50
0006１３２人目の素数さん
2007/12/01(土) 09:58:33圧倒的に問題の難易度が高いという話ですが、本当ですか？
0007１３２人目の素数さん
2007/12/01(土) 10:58:23で、直前の記号と同じ記号を続けて表示する確率は、それまでの経過に関係なく、ｐであるとする。
最初に、コンピュータの画面に記号×が表示された。操作をくり返し行い、記号×が最初のものも含め
て３個出るよりも前に、記号○がｎ個出る確率をＰnとする。ただし、記号○がｎ個出た段階で操作は終了
する。
(1) Ｐ2をｐで表せ。
(2) ｎ≧３のとき、Ｐnをｐとｎで表せ。（2006東大文理共通）
(1)
×○○ の場合 (1-p)p
××○○ の場合 p(1-p)p=(1-p)p^2
×○×○ の場合 (1-p)^3
よって、Ｐ2はこれらの和
(2)
×○○・・・○ の場合 (1-p)p^(n-1)
××○・・・・○の場合 p(1-p)p^(n-1)=(1-p)p^n
×○×○・・・○の場合 (1-p)^3 p^(n-2)
×○○×○・・・○の場合 同上
・・・
×○○・・・・・×○の場合 同上
よって、Pn=(1-p)p^(n-1)+(1-p)p^n+(n-1)(1-p)^3p^(n-2)
0008１３２人目の素数さん
2007/12/01(土) 10:58:59３点を頂点とする３角形の面積の期待値（平均）を求めよ。ただし、２つ以上が一致するような３点がえらばれ
たときは、三角形の面積は０と考える。（1981東大理系）
重複して選んでよいので、組合せは、６^3
隣り合う３点（△Ａ1Ａ2Ａ3など）が選ばれたとき、面積は√3/4で、６×３！通り
１辺と隣り合わない１点（△Ａ1Ａ2Ａ4など）が選ばれたとき、面積は√3/2で、６×２×３！通り
隣あわない３点（△Ａ1Ａ3Ａ5と△Ａ2Ａ4Ａ6）が選ばれたとき、面積は3√3/4で、２×３！通り
とすると、
(√3/4)(6・3!)/6^3 +(√3/2)(6・2・3!)/6^3 +（3√3/4)(2・3!)/6^3
=√3/4
これは、重複ないものとして計算すると、6Ｃ3=20だから、
(√3/4)(6/20)+(√3/2)(12/20)+(3√3/4)(2/20)=9√3/20
となるんですが、違っていいんですよね？それとも間違ってますか？
0009１３２人目の素数さん
2007/12/01(土) 10:59:50同じ枚数のときは引き分けとする。硬貨の表、裏のでる確率はすべて1/2であるものとする。
(1) Ａの勝つ確率、Ｂの勝つ確率、引き分けの確率を求めよ。
(2) もし、勝った方が相手の投げた硬貨を全部もらえるとしたら、ＡとＢとどちらが有利か。
（1981東大文系）
(1)
Ａの勝つ確率ＰAは、Ａ，Ｂが表を出す枚数をそれぞれｘ，ｙで表すとき、
（ｘ、ｙ）＝（1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3)であるから、
ＰA=(4/2^4)(1/2^3)+(6/2^4)(1/2^3)+(6/2^4)(3/2^3)+・・・ と計算し、
64/128=1/2
同様に、Bが勝つ確率は(x,y)=(0,1),(0,2),(1,2),(0,3),(1,3),(2,3)だから、
29/128
引き分ける確率は、35/128
(2)
Aが受け取るお金の期待値は、(1/2)*150=75円
Bが受け取るお金の期待値は、(29/128)*400≒91円
よって、Bが有利
0010１３２人目の素数さん
2007/12/01(土) 11:19:19ロナルド・レーガンが、第40代アメリカ合衆国大統領に就任
沖縄でヤンバルクイナが発見
近藤真彦『ギンギラギンにさりげなく』
Dr.スランプ(アラレちゃん)放映開始
芸術は爆発だ! 岡本太郎
ノーベル化学賞 福井謙一、ロアルド・ホフマン
0011１３２人目の素数さん
2007/12/01(土) 11:29:06おｋ
0012１３２人目の素数さん
2007/12/01(土) 14:40:01本当ですよ。
山梨医大ではなく、今は山梨大医学部ですけど。
浜松医大とか高知大医学部とかも東大よりムズイよ。
0013１３２人目の素数さん
2007/12/01(土) 14:41:430014１３２人目の素数さん
2007/12/01(土) 14:59:16入試の難易度は高くない。
0016ピカ z (．ﾟ－ﾟ) ◆81L9Tcb6w.
2007/12/01(土) 23:42:11日本語でおｋ
0018１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 01:22:10y=a^x や y=log a x
で、a =1 のときに定義されないのは何故ですか？
グラフで言えば、a=1のとき、それぞれ y=1 あるいは x=1の 直線として定義されていても
良いかと思うんですが、今の高校数学の範囲だからかもしれませんが、a≠1 とするように
指導されます。
なんでや～ 納得いかんのですが。
「そういうもの」と決めた
0019１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 01:23:21「そういうもの」と決めた、だけですか？
それとも高校数学だから？
それとも深い理由が。
教えてください。
0020１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 01:26:48値が特定できないから
http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/0%5E0/0%5E0.htm
0021１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 01:33:20回答さんくすですが、それはa=0のときじゃないですか。
それが定義できないのは分かりますが、
高校数学だと、対数の低は≠1と教わりますね。
0022１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 01:34:57○底
0023１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 01:35:53思考力とゆうよりはスピードが求
められる気がする
0024１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 01:36:05y=a^xでa=1だとy=1になるからで指数関数というより直線と呼ぶからだろうと推測
0025１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 01:45:58納得いかないので他の答えを待ちます。
今思いついたのは、対数の底で1を認めると、たとえば底の変換公式が使えなくなりますね。
こういう演算上の問題があるから最初からa≠1にしたのかと。
でもy=a^1 で a=1はあっても良いと思うんですが。
0026１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 01:57:00いい加減スレ違いだから、
「くだらねぇ問題はここへ書け」スレへドゾー
0027１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 02:28:43スレ違いっぽいし
別スレなほうが（納得いきそうな）良い回答があるのかもしれない
質問主さん
いったんここでは、「打ち切ります」とのカキコして
別スレにて頼む
0028１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 13:38:40(1) ｍ、ｎは自然数とする。三角関数の加法定理を用いて、等式
sin(mx)*sin(nx)=(1/2){cos(m-n)x -cos(m+n)x}
が成り立つことを示し、さらに次の積分Ｉm,nを求めよ。
Ｉm,n＝∫[-π→+π] sin(mx)*sin(nx)dx
(2) 整数ｋ（0≦ｋ≦5）、自然数ｍ、ｎおよび実数a,bに対して、
f(k)=∫[-π→+π] {sin(kx) -a*sin(mx) -b*sin(nx)}^2 dx,
p(k)=(1/2)^5 * 5!/{k!(5-k)!}
E =納k=0→5] p(k)*f(k)
とおくとき、Ｅを最小にするようなｍ、ｎ、ａ、ｂを求めよ。(1978京大理系）
(1)は教科書公式レベルの一方、(2)は、a=b=0,m=n>5 か m=2,m=3の場合と
予想はつくんですが、何か、巧妙な計算方法あるんでしょうか？
0029１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 13:41:55その計算過程で効率の良い計算方法に気付くの場合もあるのでは？
予想を立てるだけでなく実行をしてから投稿お願いします。以上。
0030１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 23:41:21の部屋をこれらのタイルで過不足なく敷きつめることを考える。そのような並べ方の総数をＡnで表す。
ただしｎは正の整数である。たとえばＡ1＝1、Ａ2＝３、Ａ3＝５である。このとき以下の問いに答えよ。
(1) ｎ≧３のとき、ＡnをＡn-1、An-2を用いて表せ。
(2) Ａnをｎで表せ。 （1995東大理系）
横がn-1のとき、正方形を１つおけば横がｎになる。
横がn-2のとき、正方形を２つおくか、長方形を１つおくと横がｎになる。
よって、
An=An-1+2*An-2
An-2An-1=(-1)(An-1-2*An-2)=(-1)^(n-2)*(A2-2*A1)=(-1)^(n-2)
An+ An-1=2(An-1 +An-2)=2^(n-2)*(A2+A1)=2^n
An=(1/3)*2^(n+1) +(1/3)*(-1)^(n-2)
先頭車両から順に１からｎまでの番号のついたｎ両編成の列車がある。ただしｎ≧２とする。各車両を
赤色、青色、黄色のいずれか一色で塗るとき、隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような色の
塗り方は何通りか。（2005京大理系）
ｎ両編成で題意をみたす塗り方のうち、ｎ両目が赤の場合をｐ(ｎ)通り、ｎ両目が黄か青の場合をｑ(ｎ)通りとする。
n＋１両編成のとき、p(n+1)はp(n),q(n)の場合にn＋１両目を赤に塗ればよく、q(n+1)はp(n)の場合にn+1両目を青黄
に塗ればよいので、
q(n+1)=2p(n)
p(n+1)=p(n)+q(n)=p(n)+2p(n-1)
p(n+1) +p(n)=2(p(n)+p(n-1))=2^(n-2)*(p(3)+p(2))=2^(n-2)*8=2^(n+1)
p(n+1)-2p(n)=(-1)(p(n)-2p(n-1))=(-1)^(n-2)*(p(3)-2p(2))=(-1)^(n-1)
p(n)=(1/3)*2^(n+1) -(1/3)*(-1)^(n-1)
q(n)=(2/3)*2^n -(2/3)*(-1)^(n-2)
となり
求める総数は、p(n)+q(n)=(2/3)*2^(n+1) +(1/3)*(-1)^(n-1)
0031１３２人目の素数さん
2007/12/02(日) 23:42:170032１３２人目の素数さん
2007/12/03(月) 13:15:31する操作をくりかえすことにより、サイコロの置きかたを変えていく。ただし、各回ごとに、回転軸および回転
する向きの選びかたは、それぞれ同様に確からしいとする。
第ｎ回目の操作のあとに１の面が上面にある確率をp(n)、側面のどこかにある確率をq(n)、底面にある確率
をｒ(n)とする。
(1) p(1),q(1),r(1)を求めよ。
(2) p(n),q(n),r(n)をp(n-1),q(n-1),r(n-1)で表わせ。
(3) p=lim[n→∞] p(n)、q=lim[n→∞] q(n)、r=lim[ｎ→∞] r(n) を求めよ。(1982東大理系）
(1)
上面と底面を通る軸を選んで、どちからに回転させると上面の１のままだから、p(1)=1/3
側面を通る２つの軸のどちらかを選んで、どちらかに回転させると１は側面に移動するから、q(1)=2/3
１回で底面にくることはないので、r(1)=0
(2)
(1)の考え方より、
p(n)=(1/3)p(n-1) +(1/6)q(n-1)
q(n)=(2/3)p(n-1) +(2/3)q(n-1) +(2/3)r(n-1)
r(n)=(1/3)r(n-1) +(1/6)q(n-1)
(3)
p(n-1)+q(n-1)+r(n-1)=1だから、
q(n) =2/3
p(n) =(1/3)p(n-1) +1/9 より、
p(n)-1/6=(1/3)(p(n-1)-1/6)=(1/3)^(n-1)*(p(1)-1/6)=(1/3)^(n-1)*(1/6)
p(n)=(1/6){1+(1/3)^(n-1)}
r(n)-1/6=(1/3)^(n-1)*(r(1)-1/6)
r(n)=(1/6){1-(1/3)^(n-1)}
となり、p=r=1/6、q=2/3
これは、p+q+r=1だから、r(n)は求めなくてもよいのでしょうか？
0033１３２人目の素数さん
2007/12/03(月) 13:28:36最後の一文でお前の実力が知れた
0034１３２人目の素数さん
2007/12/03(月) 17:16:25lim[n→∞] a(n)=a、lim[ｎ→∞]b(n)=bのとき、
a+b=lim[n→∞] ( a(n) +b(n) ) は、高校では天下り式に使っていい。
0035１３２人目の素数さん
2007/12/04(火) 12:55:540036１３２人目の素数さん
2007/12/04(火) 12:59:38後、よろしくね
0037１３２人目の素数さん
2007/12/04(火) 13:04:56,.ﾍｰ'´ i ｀´/ ｀i_
/ヾ、 ヽ、 i / ／ヽ
_ｨ､〉 > ´￣ ￣ ｀ く ,ゝ、
}、 ,>'´ ､ ヽ.／｀ヽ
┌! / / ｉ 「｀i ヽヽ ヽ }
Ｙ ! | | l i i l i ',__,.ゝ
,' | | | !ｌ l | l l !
i ! | | | | j＿__j | |i i!
|ｉ! l ,.|‐Ｔ丁i! ﾊlj, --!｀ﾄlノ、||
| ! ! ﾚ'ｉ´｀j "i´ ｀iヽ, i || _
| l |i iバ__ｿ Ｌ__ｿ /.ノ |! _ヽ)
| | |ｌ |､//// ' ///// |! |i ヽ)
!ハ |! |,ゝ' ´￣￣ ｀ く ﾚy'|!
__,ノ ﾚ'ヽiﾊ ／ >>36 ＼｝'´￣ ｀ヽ､
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〉／ / , ､ヽ お前の態度が ／_｀ヽ＼ ＼
,ｨ'ん、 ／ ! '´__ ヽ 気に入らない /´__,.｀ ', ＼ ｧ'｀
｀ヽ､/ｰ' /! __｀ヾ! ﾚ'´ _,. ! ＼ i
/ｰ-ｨ､ ｨ__! ___｀フ / ヽ二 /7 _ｉ弋
/ 辷j ! ヽ ／ / / / } j´ 〉
ヽ、 冫 ヽ__ｭ_y＼ ／ / ／ヽﾍ／え´ /
＼'´｀ ｀}ｰ-､_,ゝくi ヽ､ _＿＿_ ,. イｨ_,､ __う'´＿_／
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／／/ l ! | / } / | iﾊ_j
く／//f´￣l/ | i y /-､| |
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0038１３２人目の素数さん
2007/12/04(火) 14:26:17スリーランク下の質問は受験板へｗ
0039１３２人目の素数さん
2007/12/04(火) 20:53:04０≦ｚ≦１＋ｘ＋ｙ－３（ｘ－ｙ）ｙ、０≦ｙ≦１、ｙ≦ｘ≦ｙ＋１
のすべてを満足するｘ、ｙ、ｚを座標にもつ点全体がつくる立体の体積を求めよ。
(1982東大理系）
y=tでの断面Ｓ(t)を考えると、ｔ≦ｘ≦ｔ＋１、０≦ｚ≦（1-3t)x+(3t^2+t+1)
0≦ｔ≦１、3t^2+t+1=3(t+1/6)^2+11/12だから、Ｓ(t）は台形になり、
Ｓ(t)=(1/2){(1-3t)t+(3t^2+t+1) +(1-3t)(t+1)+(3t^2+t+1)}
＝(1-3t)t +(1/2)(1-3t) +(3t^2+t+1)
＝(t/2) +(3/2)
よって、
Ｖ=∫[0→1] S(t) dt=(1/2)(1/2)+(3/2)=7/4
0040１３２人目の素数さん
2007/12/04(火) 20:54:24ｘ^2＋ｙ^2≦ｒ^2、ｙ^2＋ｚ^2≧ｒ^2、ｚ^2＋ｘ^2≦ｒ^2
をみたす点全体からなる立体の体積を求めよ。（2005東大理系）
x=r*cosθでの断面を考え、ｘ、ｙ、ｚ≧０の部分を計算し８倍する。
0≦ｘ≦r/√2 の範囲を考えればよい。図をかくと、
Ｓ(θ)=(r^2)(sinθ)^2 -(r^2)sinθcosθ-(r^2)θ+(r^2)π/4
よって、
Ｖ=∫[0→r/√2] S dx =∫[π/2→π/4] Ｓ(θ) (-r*sinθ)dθ
=∫[π/4→π/2] Ｓ(θ)sinθdθ
=∫[π/4→π/2]{(sinθ)^3 -(1/2)sin(2θ)sinθ-θsinθ+(π/4)sinθ}dθ
=(r^3)(√2 -4/3)
これを８倍し、
8(r^3)(√2 -4/3)
どう解いても、1982の計算より、計算量が10倍くらいあります。。。
0041１３２人目の素数さん
2007/12/05(水) 11:35:33の下２桁はそれぞれ０、45である。ｍが正の整数全体を動くとき、５ｍ^4の下２桁と
して現れる数をすべて求めよ。(2007東大文系）
http://www.sundai.ac.jp/yobi/sokuhou2007/toudai1/sugakua/k03.htm
実質的に、合同式の解法はありってことですかね？
0042１３２人目の素数さん
2007/12/05(水) 12:34:02それは合同式を回避する手段。
いいかだめかは採点官しだい。
0043１３２人目の素数さん
2007/12/05(水) 17:56:43普通はOKでしょう
0044１３２人目の素数さん
2007/12/08(土) 10:12:36上面は半径Ｒの円である。この容器に上面まで満たされた水を、断面積がＳの管を通じて、
最低点からポンプで流出させるとする。水の流出速度ｖは、そのときの水面の高さをｘと
すれば、ｖ=ｋｘ（ｋは正の定数）で与えられるようにポンプが調整されているものとする。
流出し始めた時刻をｔ=０として、時刻ｔにおける水面の高さｘ（ｔ）を求めよ。ただし、ｔは
容器が空になる時刻までに限定する。（時刻ｔとｔ＋⊿ｔの間に流出する水量を⊿Ｑと
すれば、lim[⊿t→0] ⊿Q/⊿t=Svがなりたつ。） （1983京大理系）
高さがｘ(t)のときの水面の半径ｒは、h:R=x(t):rより、r=(R/h)x(t)
よって、
(1/3)πr^2*x=(1/3)π(R^2/h^2)*x(t)^3=(1/3)πR^2*h -∫[0→t] Skx(t) dt
ｔで微分して、
π(R^2/h^2)x(t)^2*(dx/dt) =-Skx(t)
x(t) dx =-Skh^2/(πR^2)
積分すると
(1/2)x(t)^2=-{Skh^2/(πR^2)}t +C
t=0で、x(t)=hだから、C=(1/2)h^2
ゆえに、x(t) =√{ h^2 -(2Skh^2/πR^2)t}
0045１３２人目の素数さん
2007/12/08(土) 10:14:52させてできる容器がある。この容器に水を満たし、原点から水面までの高さがｈのときに単位時間
あたりの排水量が、√ｈとなるように、水を排出する。すなわち、時刻ｔまでに排出された水の総量を
Ｖ(t)とおくとき、dV/dt=√hが成り立つ。このときすべての水を排出するのに要する時間を求めよ。
（2006京大理系）
高さがｈのときの水面の半径ｒは、Ｈ：Ｒ＝ｈ：ｒより、ｒ＝Ｒ（ｈ/Ｈ）
hはｔの関数h(t)だから、
(1/3)πr^2*h(t)=(1/3)π(R^2/H^2)*h(t)^3 =(1/3)πR^2*H -∫[0→t]√h(t) dt
が成り立ち、ｔで微分すると、
π(R^2/H^2)h(t)^2*(dh/dt)= -√h(t)
よって、
h(t)^(3/2)*dh=-H^2/(πR^2) dt
積分して、
(2/5)h^(5/2) =-H^2/(πR^2)t +C
t=0で、h=Hだから、C=(2/5)H^(5/2)
ゆえに、h=0となるｔは、ｔ＝(2/5)πR^2*√H
京大はこのタイプの問題はしつこく出題しますが、何か、
本質的な意図はあるのでしょうか？
0046１３２人目の素数さん
2007/12/08(土) 10:32:41微分方程式を出したがる
物理屋の教授でも、いるんじゃね？
あと東大は「空間」や「立体」が好きっぽい
0047１３２人目の素数さん
2007/12/08(土) 10:37:47⊿とΔって違うの？
0048１３２人目の素数さん
2007/12/08(土) 10:39:09ツーランク上の質問はこっち
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1194288814/l50
0049１３２人目の素数さん
2007/12/08(土) 10:42:16デルタの意味
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2007844
0050１３２人目の素数さん
2007/12/08(土) 10:44:28フィギア好きな教授でも…ｗ（以下略）
（秋葉原に近いし）
0051１３２人目の素数さん
2007/12/08(土) 17:20:38数年に一度出てるなら、同じ人が出題委員になるたびに似た問題を
出してるってことかもしれん（さぼってるってことｗ
0052１３２人目の素数さん
2007/12/08(土) 18:59:03(2) 極限値 lim[ｎ→∞] ∫[0→nπ] exp(-x) *|sin(x)| dx を求めよ。
(1994東工大）
次の極限値を求めよ。
lim[ｎ→∞] ∫[0→nπ] exp(-x) *|sin(nx)| dx
(2001京大理系）
(1) f(x)=exp(-x)*sin(x)、g(x)=exp(-x)*cos(x) とおくとき導関数f'(x),g'(x)を求めよ。
(2) 自然数kに対してI[k]=∫[(k-1)π→kπ] exp(-x)*sin(x) dx
J[k]=∫[(k-1)π→kπ] exp(-x)*cos(x) dx
とおくとき(1)の結果を用いてI[k]+J[k]、I[k]-J[k]を求めよ。
(3) 自然数nに対して S[n]=∫[0→nπ] exp(-x)*|sin(x)|dx とおくとき
lim[ｎ→∞] S[n] を求めよ。（宮城教育大）
ｎが自然数と限定していない場合は、
ｋπ≦ｎπ＜(ｋ＋１）π
と挟み撃ちで極限を考える必要ありでしょうか？
0053１３２人目の素数さん
2007/12/08(土) 19:27:54http://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/01/k1.html
この解答は、ｎが自然数が前提ですね。
まあ、最後に一言付け加えておけばいいんじゃないか。
（ｎが自然数の場合に値が求まるので、ｎが自然数でない場合も、
自然数ｋを用いてｋ＜ｎ＜ｋ＋１とでき、被積分関数は負にならないゆえ
同じ値に収束する）とか。
0054教えて下さい。
2007/12/08(土) 19:44:2815000＋22000/X×100=80% 12500ですが
Xに入る解き方を教えて下さい。
よろしくお願いします。
0055１３２人目の素数さん
2007/12/08(土) 20:14:58ここで聞く内容じゃない。
小学生（中学入試）あるいは中学生レベルなのでそちらへ。
しかしこんなのできなくて証券外務員になれるのか…。
15000＋(22000/x)*100＝80%*12500
⇔15000＋(22000/x)*100＝10000
⇔150＋(22000/x)＝100
⇔22000/x＝-50
⇔x＝-440
0056教えて下さい。
2007/12/08(土) 20:32:45すみません。もっと分かりやすく教えてくれませんか？
馬鹿ですみません。
0057１３２人目の素数さん
2007/12/08(土) 20:37:270058１３２人目の素数さん
2007/12/08(土) 20:48:37http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1413771364
0059１３２人目の素数さん
2007/12/08(土) 21:54:24これ以上ないくらいにマルチスレッドしてるな・・・
0060１３２人目の素数さん
2007/12/08(土) 22:26:36バカだなあ
0061１３２人目の素数さん
2007/12/09(日) 16:25:37なす平面Ｈで切る。曲面Ｋと平面Ｈで囲まれた立体の体積を求めよ。(1983東大理系）
曲面は、y=(3/4) -(x^2+z^2) で表わされるから、x=tでの断面Ｓ（ｔ）を求め、
それを-3/2≦ｔ≦1/2で積分すればよい。
断面は、y=(3/4 -t^2) -z^2 の放物線であり、この放物線とｙ=ｔが囲む面積である。
よって、(3/4) -t^2 -z^2=tの正の解をαとすると、
Ｓ(t)=∫[-α→+α] (-z^2-t^2-t+3/4) dz=(1/6)(2α)^3=(4/3)(-t^2-t +3/4)^(3/2)
Ｖ=∫[-3/2→1/2] S(t) dt=(4/3)∫[-3/2→1/2] {-(t+1/2)^2 +1}^(3/2) dt
=(4/3)∫[π→0] {-(cosθ)^2+1}＾(3/2) (-sinθ)dθ
=(4/3)∫[0→π] (sinθ)^4 dθ
ここで、
∫[0→π] (sinθ)^4 dθ=[-cosθ(sinθ)^3] +∫{1-(sinθ)^2}*3(sinθ)^2 dθ だから、
∫[0→π] (sinθ9^4 dθ=(3/4)∫[0→π] (sinθ)^2 dθ=(3/4)(1/2)π=3π/8
ゆえに
Ｖ=(4/3)(3π/8)=π/2
ｙ軸に垂直な断面は円周と直線で囲まれた面積なので、
よくあるパターンかと思ったら、あまりにもごちゃごちゃした
計算になったので、ｘ軸に垂直な断面で計算してみたら
できたのですが、どの断面で計算したらできるかというのは
何か基準があるのでしょうか？
0062１３２人目の素数さん
2007/12/11(火) 00:36:33お前に金を扱う資格はない
0063１３２人目の素数さん
2007/12/12(水) 12:48:41A、B、Cから無作為に１個ずつ合計３個の球を取り出し、これからやはり無作為に１個とってAに
かえすという操作を繰り返す。ただし容器Bから赤球が取り出される確率と白球が取り出される
確率は1/2に保たれており、容器Cからはつねに赤球が取り出されるものとする。
(1) 上記の操作をｎ回くり返したとき、容器Aにｘ個の赤球が入っている確率をPn（ｘ）、ｎ=1,2,3,…で
表せば、関係式
Pn+1(x) =(1/12)(6+x)Pn(x) +(1/24)(1+x)Pn(x+1) +(1/8)(5-x)Pn(x-1)
が成り立つことを証明せよ。ただし、ｘ≦-1またはｘ≧５のときはPｎ（ｘ）=０と定める。
(2) ｎ回目の操作を終えたときAの中にある赤球の個数の期待値Eｎを求めよ。
(3) lim[n→∞] En を求めよ。（1975東大理系）
(1)
ｎ＋１回目の操作で、取り出す球を(A,B,C)で表わすと、
Pn+1(1)は、
Pn(0)のとき、(白、赤、赤）から赤を選ぶ確率：1*(1/2)*1*(2/3)=1/3
（白、白、赤）から赤を選ぶ確率：1*(1/2)*1*(1/3)=1/6
Pn(1)のとき、(白、白、赤）から白を選ぶ確率：(3/4)*(1/2)*1*(2/3)=1/4
（白、赤、赤）から白を選ぶ確率：(3/4)*(1/2)*1*(1/3)=1/8
（赤、白、赤）から赤を選ぶ確率：(1/4)*(1/2)*1*(2/3)=1/12
（赤、赤、赤）から赤を選ぶ確率：(1/4)*(1/2)*1*1=1/8
Pn(2)のとき、(赤、白、赤）から白を選ぶ確率：(2/4)*(1/2)*1*(1/3)=1/12
であるから、
Pn+1(1)=(7/12)Pn(1)+(1/12)Pn(2)+(1/2)Pn(0) が成立している。
x=0,2,3,4の場合も同様に問題の式が成立する。
0064１３２人目の素数さん
2007/12/12(水) 12:49:49Pn+1(0)=(6/12)Pn(0)+(1/24)Pn(1)
Pn+1(1)=(7/12)Pn(1)+(1/12)Pn(2)+(4/8)Pn(0)
Pn+1(2)=(8/12)Pn(2)+(3/24)Pn(3)+(3/8)Pn(1)
Pn+1(3)=(9/12)Pn(3)+(4/24)Pn(4)+(2/8)Pn(2)
Pn+1(4)=(10/12)Pn(4)+(1/8)Pn(3)
納k=0,4] Pn+1(k)=１
より、
En+1=1*Pn+1(1)+2*Pn+1(2)+3*Pn+1(3)+4*Pn+1(4)=(1/2) +(5/6)En となる。
En+1-3=(5/6)(En-3)=(5/6)^(n)*(E1-3)=(5/6)^(n)*(4/3-3)=-(5/3)*(5/6)^n
En=3-2*(5/6)^n
(3)
lim[ｎ→∞] En=3
0065１３２人目の素数さん
2007/12/12(水) 12:50:31横に並べ、次の操作を繰り返し行う。さいころを振り、出た目が１、２であれば左端の板を裏返し、
３、４であればまん中の板を裏返し、５、６であれば右端の板を裏返す。
たとえば、最初、板の表の色の並び方が「白白白」であったとし、１回目の操作で出た
さいころの目が１であれば、色の並び方は「黒白白」となる。さらに２回目の操作を行って
出たさいころの目が５であれば、色の並び方は「黒白黒」となる。
(1)「白白白」から始めて、３回の操作の結果、色の並び方が「黒白白」となる確率を求めよ。
(2)「白白白」から始めて、ｎ回の操作の結果、色の並び方が「白白白」または「白黒白」となる確率を求めよ。
注意：さいころは１から６までの目が等確率で出るものとする。（2004東大理系）
(1)白をw,黒をbで表わすと、
www→bww→www→bww、www→wbw→www→bww、www→wwb→www→bww
www→bww→bbw→bww、www→wbw→bbw→bww、www→wwb→bwb→bww
www→bww→bwb→bww
の７通りだから、7*(1/3)^3=7/27
0066１３２人目の素数さん
2007/12/12(水) 12:51:17ｎ回の操作の後、白が３つのときの確率をp(n)、白が２つのときq(n)、
白が１つのときr(n)、白が０のときs(n)とする。
このとき、
p(n)=(1/3)q(n-1)
q(n)=p(n-1)+(2/3)r(n-1)
r(n)=s(n-1)+(2/3)q(n-1)
s(n)=(1/3)r(n-1)
が成り立つ。
a(n)=q(n)+r(n)、b(n)=q(n)-r(n)とおくと、
a(n)=(2/3)a(n-1)+(1/3)a(n-2)、b(n)=(-2/3)a(n-1)+(1/3)b(n-2)
の漸化式が導かれ、、a(1)=1,a(2)=2/3,b(1)=1,b(2)=-2/3を用いると、
a(n)+(1/3)a(n-1)=a(n-1)+(1/3)a(n-2)=a(2)+(1/3)a(1)=1
a(n)-a(n-1)=(-1/3)(a(n-1)-a(n-2))=(-1/3)^(n-2)*(a(2)-a(1))=(-1/3)^(n-1)
b(n)+b(n-1)=(1/3)(b(n-1)+b(n-2))=(1/3)^(n-2)*(b(2)+b(1))=(1/3)^(n-1)
b(n)-(1/3)b(n-1)=(-1)(b(n-1)-(1/3)b(n-2))=(-1)^(n-1)
が求められる。
よって、
a(n)=(3/4)+(1/4)(-1/3)^(n-1)
b(n)=(3/4)(-1)^(n-1)+(1/4)(1/3)^(n-1)
q(n)=(3/8){1+(-1)^(n-1)}+(1/8){(1/3)^(n-1)+(-1/3)^(n-1)}
白黒白、黒白白、白白黒になる確率は、それぞれ(1/3)q(n)であり、
q(n)はｎが偶数のとき０になる。
また、白白白の確率p(n)は、ｎが奇数のとき０になるので、求める確率は、
ｎが偶数のとき、
p(n)=(1/3)q(n-1)=(1/8)*2+(1/24)2*(1/3)^(n-2)=(1/4)+(3/4)(1/3)^n
ｎが奇数のとき、
(1/3)q(n)=(1/8)*2+(1/24)*2*(1/3)^(n-1)=1/4+(1/4)*(1/3)^n
となる。
0067１３２人目の素数さん
2007/12/12(水) 12:54:130068１３２人目の素数さん
2007/12/12(水) 15:34:22って、期待値の漸化式はともかく、個々のＰｎ（ｘ）って解けるの？
0069１３２人目の素数さん
2007/12/13(木) 21:33:54CKYめよ。
0070１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 16:37:360071１３２人目の素数さん
2007/12/16(日) 17:33:210072１３２人目の素数さん
2007/12/18(火) 22:17:58定積分することって可能なのでしたっけ？
無限を入れても一意的な解は求まらないので
不可能なのでしたっけ？
0073１３２人目の素数さん
2007/12/19(水) 10:11:080074１３２人目の素数さん
2007/12/19(水) 16:46:590075１３２人目の素数さん
2007/12/19(水) 16:50:12上限を2npiなどのように制限すると出すことは可能
0076１３２人目の素数さん
2007/12/19(水) 16:52:13ただ単に掛けることで基本変形と同じ働きをする行列をそう呼んでいるだけだ。
0077１３２人目の素数さん
2007/12/19(水) 21:48:32cos(・・・・)の無限からゼロまでの定積分を
lim_{Ω→無限}cosΩ=0
として計算する。
みたいなことが書かれてあるのですが
これはどう会社したら良いのでしょうか？
0～2の範囲で振動すると考えてそのうちどれかを
仮の値としておけば良いのでしょうか？
0078１３２人目の素数さん
2007/12/19(水) 21:58:170079１３２人目の素数さん
2007/12/20(木) 00:58:000080１３２人目の素数さん
2007/12/20(木) 20:09:290081１３２人目の素数さん
2007/12/22(土) 19:57:52cos∠AOB=3/5とする。
このとき∠AOBの二等分線と、Bを中心とする半径√10の円との交点
の、Oを原点とする位置ベクトルをVa,Vbを用いて表せ。
という京都大の問題なのですが、できそうでできません。円を式に表し
たりVaVbの内積を出してもそこから進みません。お願いします。
高校生スレから紹介されて来ました。
0082１３２人目の素数さん
2007/12/22(土) 20:03:50あっちで表記をちゃんとしろって言われなかった？
0083１３２人目の素数さん
2007/12/22(土) 22:27:220084１３２人目の素数さん
2007/12/22(土) 22:53:56解けないクズは、高校生スレから出てこないでねｗ
こっちは、入試問題が解けた上でそれ以外の解法などを話題にする
スレだから。
0085１３２人目の素数さん
2007/12/22(土) 23:50:26それが表記を正しくしなくても大丈夫な理由にはならない
0086１３２人目の素数さん
2007/12/24(月) 02:40:21初耳！
前スレから、回答している者だが
いつからそうなった？
0087１３２人目の素数さん
2007/12/25(火) 13:02:42小さな三角形でできたピラミッドをイメージしちみち
たぶん初等幾何で解けると思うお
》←おいら
0088１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 17:49:100089１３２人目の素数さん
2008/01/12(土) 13:10:33x1,x2,・・・,xnおよびy1,y2,・・・,ynが与えられている。y1,y2,・・・,ynを並べかえて得られる
どのような数列z1,z2,・・・,znに対しても
納j=1,n] （ｘj - yj)^2 ≦ 納j=1,n] (xj - zj)^2
が成り立つことを証明せよ。(1987東大理系）
左辺－右辺
＝2x1(y1-z1)+2x2(y2-z2)+･･･+2xn(yn-zn)
≧2xn{(y1-z1)+(y2-z2)+･･･+(yn-zn)}
＝2xn{(y1+y2+･･･+yn)-(z1+z2+･･･+zn)}
＝０
はいいとしても、等号の条件が、この式からは、
x1=x2=・・・=xnしかでてこないのです。
明らかにy1=y2=・・・=ynのときも等号成立ですが、
この式からどう言えばよのでしょうか？
それとも、別の式で示す必要があるのでしょうか？
よろしくお願いします。
0090１３２人目の素数さん
2008/01/12(土) 13:52:07＞ 左辺－右辺
＞ ＝2x1(y1-z1)+2x2(y2-z2)+･･･+2xn(yn-zn)
＞ ≧2xn{(y1-z1)+(y2-z2)+･･･+(yn-zn)}
はならんだろ？
(yj-zj)＜０ や xj＞０の場合もあるんだしｗ
0091１３２人目の素数さん
2008/01/12(土) 13:56:00（１）（A）が相異なる実数解をもつときに、aの値の範囲を求めよ
D=a^2-4(a+8)⇔ a>8 or a<-4である
（２）（１）のときに二つの実数解がー２よりも小さいaの値の範囲を求めよ
f(x)=x^2+ax+a+8とするとグラフから
a>8 or a<-4
f(-2)>0 ⇔ a<12
-a/2(頂点x座標) < -2 ⇔ a>4
よって8<a<12
(３)（１）の解の差が√１３となるときのaの値はいくつ？
二つの解をαとβとする（α＞βとする）
α＋β＝－a
αβ＝a+8
(α＋β)＾２-(αーβ)＾２＝４αβより
a^2-(√１３)＾２＝４（a+8）
⇔ a=-5 or a=9
であってる？
0092１３２人目の素数さん
2008/01/12(土) 14:23:05まるち
0093１３２人目の素数さん
2008/01/12(土) 15:20:43ついでにスレ違い。
0094１３２人目の素数さん
2008/01/12(土) 17:31:04間違ってました。では、帰納法で、
n=2のとき、
z1=y1,z2=y2のときは左辺＝右辺
z1=y2,z2=y1のとき、右辺-左辺=2x1(y1-y2)+2x2(y2-y1)=2(x1-x2)(y1-y2)≧0
等号は、x1=x2またはy1=y2のとき、
n≦k(kは３以上)のとき成立と仮定(等号はx1=…=xk,またはy1=…=ykのとき）
n=k+1のとき、
1) zjのなかにyjと等しいものがある場合(ym=zmとすると）、
左辺から(xm-ym)^2を除き、右辺から(xm-zm)を除いた式は、n=kの場合に帰着する。
（等しいものが複数ある場合は,その数に従いn=k-1,k-2・・・の場合に帰着）
よって、左辺≦右辺が成り立っている。
2) zjのyjがすべて異なる場合
y_k+1と等しいものをzmとする。
右辺で、(xm-zm)^2 を(xm-z_k+1)^2に、(x_k+1-z_k+1)^2を(x_k+1-z_m)^2に入れ替えると、
xm≧x_k+1、z_k+1≧zmの関係があるので、
(xm-z_k+1)^2 +(x_k+1-zm)^2≦(xm-zm)^2 +(x_k+1-z_k+1)^2
が成り立つ。
とすると、
(x1-z1)^2+…+(xm-z_k+1)^2+…+(x_k+1-y_k+1)^2≦(x1-z1)^2+…(x_k+1-z_k+1)^2
で、左辺は、最後の校がzj=yjの場合なので、n=k以下に帰着され、
(x1-y1)^2+…+(x_k-y_k)^2+(x_k+1-y_k+1)^2≦(x1-z1)^2+…+(xm-z_k+1)^2+…+(x_k+1-y_k+1)^2
となる。
以上より、任意のｎで左辺≦右辺となる。
等号は、x1=・・・=xn,またはy1=・・・=ynのとき
0095１３２人目の素数さん
2008/01/12(土) 17:40:020096１３２人目の素数さん
2008/01/12(土) 18:28:40アーベルの論文
4次方程式までは解の公式が存在する
0097１３２人目の素数さん
2008/01/12(土) 18:57:21yj=zj(j=1,・・・,n）のときも等号成立するね。
0098１３２人目の素数さん
2008/01/12(土) 19:44:532cos(π/9)，2cos(5π/9)，2cos(7π/9)
が根となる。 cos の三倍角の公式使え。
0099１３２人目の素数さん
2008/01/12(土) 20:32:15（2008 東工大AO）
0100１３２人目の素数さん
2008/01/12(土) 20:38:350101１３２人目の素数さん
2008/01/12(土) 21:43:45http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/divisor/tetrahedron.htm
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