放物線y=x^2+3上の点P(t,t^2+3)における接線が、x軸と交わる点をQ、Pからx軸に下ろした垂線をPRとする。t＞0のとき、△PQRの面積の最小値を求めよ。

私が解いた方法(途中計算略)↓
f(x)=x^2+3とおく。
点Pにおけるf(x)の接線の方程式は、y=2tx-t^2+3
g(x)=2tx-t^2+3とおく。
g(x)=0のとき、x=(t^2-3)/2t
点Qと点Rの座標が求めて、△PQRの面積をSとおくと、
S=1/2・QR・PR
=(t^2+3)^2/4t
Sをtで微分すると、S'=(3t^4-8t^2-9)/4t^2

こっから色々計算して答えを出したんですけど、その答えがすごいことになってしまって、全く自信がありません(√43とか二重根号とかあるし・・・
もし間違っていたら、その部分を指摘していただけないでしょうか・・・お願いします。