>>41　f(ｘ)とf'(ｘ)とf''(ｘ)の区別がしづらいではないか。

f'(ｘ)をdf(ｘ)/dｘに。
f''(ｘ)をd^2f(ｘ)/dｘ^2に書き直します。

f(ｘ)＝cosｘ−{1−(ｘ^2/2)}とおく。(ｘ＞０)

f(ｘ)＝cosｘ＋(ｘ^2/2)−1
df(ｘ)/dｘ＝ｘ−sinｘ
d^2f(ｘ)/dｘ^2＝1−cosｘ

まずdf(ｘ)/dｘとd^2f(ｘ)/dｘ^2について考える。ｘ＞０で−1≦cosｘ≦1より
1−cosｘ＝d^2f(ｘ)/dｘ^2≧０よりdf(ｘ)/dｘは単調増加である。

次にf(ｘ)とdf(ｘ)/dｘについて考える。
df(ｘ)/dｘは単調増加とlim[ｘ→+0]df(ｘ)/dｘ＝０であることから
ｘ>0でdf(ｘ)/dｘ＞０がいえるのでf(ｘ)は単調増加であることが分かる。
またlim[ｘ→+0]f(ｘ)＝０なのでf(ｘ)＞０

以上よりx>0に対して、cosx>1-(ｘ^2/2)は示された。