>>15今日中までなので解いても仕方がないけど、
f(ｘ)＝cosｘ−{1−(ｘ^2/2)}とおく。(ｘ＞０)

f(ｘ)＝cosｘ＋(ｘ^2/2)−1
f'(ｘ)＝ｘ−sinｘ
f''(ｘ)＝1−cosｘ

まずf'(ｘ)とf''(ｘ)について考える。ｘ＞０で−1≦cosｘ≦1より
1−cosｘ＝f''(ｘ)≧０よりf'(ｘ)は単調増加である。

次にf(ｘ)とf'(ｘ)について考える。
f'(ｘ)は単調増加とlim[ｘ→+0]f'(ｘ)＝０であることから
f'(ｘ)＞０がいえるのでf(ｘ)は単調増加であることが分かる。
またlim[ｘ→+0]f(ｘ)＝０なのでf(ｘ)＞０

以上よりx>0に対して、cosx>1-(ｘ^2/2)は示された。