予想を立てましたが自分で解決できなくなりました
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0001１３２人目の素数さん
2007/11/24(土) 07:23:381*p1+2*p2+3*p3+…+m*pm=m
のすべての解に対して
n!/[{n-(p1+p2+p3+…+pm)}!p1!p2!p3!…pm!]*1/{(1!)^p1(2!)^p2(3!)^p3…(m!)^pm}
の和をとるとn^m/m!になる
という予想を立てたのですが、自分の力ではどうにも解決できなくなってしまって困っています
誰か助けてください
0002１３２人目の素数さん
2007/11/24(土) 07:37:26m=1のとき
p1=1
n!/{(n-1)!1!}*1/(1!)^1=n
m=2のとき
p1+2p2=2
(p1,p2)=(0,1),(2,0)
n!/[{n-(0+1)}!0!1!]*1/{(1!)^0(2!)^1}=n/2+n(n-1)/2=n^2/2
m=3のとき
p1+2p2+3p3=3
(p1,p2,p3)=(0,0,1),(1,1,0),(3,0,0)
n!/[{n-(0+0+1)}!0!0!1!]*1/{(1!)^0(2!)^0(3!)^1}+n!/[{n-(1+1+0)}!1!1!0!]*1/{(1!)^1(2!)^1(3!)^0}+n!/[{n-(3+0+0)}!3!0!0!]*1/{(1!)^3(2!)^0(3!)^0}=n/3!+n(n-1)/2!+n(n-1)(n-2)/3!=n^3/3!
0003１３２人目の素数さん
2007/11/24(土) 07:40:21正しくは以下です
m=1のとき
p1=1
n!/{(n-1)!1!}*1/(1!)^1=n
m=2のとき
p1+2p2=2
(p1,p2)=(0,1),(2,0)
n!/[{n-(0+1)}!0!1!]*1/{(1!)^0(2!)^1}+n!/[{n-(2+0)}!2!0!]*1/{(1!)^2(2!)^0}=n/2+n(n-1)/2=n^2/2
m=3のとき
p1+2p2+3p3=3
(p1,p2,p3)=(0,0,1),(1,1,0),(3,0,0)
n!/[{n-(0+0+1)}!0!0!1!]*1/{(1!)^0(2!)^0(3!)^1}+n!/[{n-(1+1+0)}!1!1!0!]*1/{(1!)^1(2!)^1(3!)^0}+n!/[{n-(3+0+0)}!3!0!0!]*1/{(1!)^3(2!)^0(3!)^0}=n/3!+n(n-1)/2!+n(n-1)(n-2)/3!=n^3/3!
0004１３２人目の素数さん
2007/11/24(土) 08:14:44以下ネタ投下どうぞ
0005１３２人目の素数さん
2007/11/24(土) 08:24:3100061stVirtue ◆.NHnubyYck
2007/11/24(土) 08:26:39<knghtbrd> (but information on building bombs, stealing cable, and manufacturing drugs is okay...)
0007１３２人目の素数さん
2007/11/24(土) 08:49:26おまえの前のレスちゃんと読んでから言え
0008１３２人目の素数さん
2007/11/24(土) 09:22:290009１３２人目の素数さん
2007/11/24(土) 09:31:11ｋｗｓｋ
0010１３２人目の素数さん
2007/11/24(土) 09:32:370011１３２人目の素数さん
2007/11/24(土) 09:35:36ｸﾜｼｸ
0012１３２人目の素数さん
2007/11/24(土) 09:37:220013１３２人目の素数さん
2007/11/24(土) 09:50:110014１３２人目の素数さん
2007/11/24(土) 11:20:360015１３２人目の素数さん
2007/11/24(土) 12:07:14f(t) = (1 + (t/1!) + (t^2/2!) + … + (t^m/m!))^n とおく。
f(t) を n 項定理を利用して展開すると、
Σ_{a ≧ 0} t^a
× Σ_{1*p1+2*p2+3*p3+…+m*pm=a, p_0 + … + p_m = n}
× n!/[p0! p1! p2! p3! … pm!]*1/{(1!)^p1(2!)^p2(3!)^p3…(m!)^pm}
となる。だから a = m のとき、つまり f(t) の t^m の項の係数を求めたらいいんだけど
(1 + (t/1!) + (t^2/2!) + … + (t^m/m!))^n の t^m の項の係数
＝ e^(nt) の t^m の項の係数
だから、これは一瞬で計算できて n^m/m!。以上。
0016１３２人目の素数さん
2007/11/24(土) 13:23:330017１３２人目の素数さん
2007/11/24(土) 13:29:420018１３２人目の素数さん
2007/11/24(土) 13:31:420019１３２人目の素数さん
2007/11/24(土) 13:44:290020にょにょ ◆yxpks8XH5Y
2007/11/24(土) 16:03:280021１３２人目の素数さん
2007/11/24(土) 18:03:49天才
0022１３２人目の素数さん
2007/11/24(土) 19:14:28ご回答ありがとうございます。
1です。
予想の背景をまったく説明していなかったにも関わらず焦点をズバリ言い当ててきたのには驚きました。
予想の背景としましては、
e^z:=1+z/1!+z^2/2!+z^3/3!+…
を定義として(e^z)^n=e^(nz)を証明しようというものでした。
つまり、この取り組みに関しては
＞(1 + (t/1!) + (t^2/2!) + … + (t^m/m!))^n の t^m の項の係数
＞＝ e^(nt) の t^m の項の係数
を利用することは反則になってしまいまして、
むしろこれを証明したいということになります。
なにかうまい方法はないでしょうか？
0023１３２人目の素数さん
2007/11/24(土) 19:58:28e^z:=1+z/1!+z^2/2!+z^3/3!+…
これじゃないんだっけ？
0024１３２人目の素数さん
2007/11/24(土) 20:01:48e^zの定義によってはe^{nt}={e^t}^nは単なる演習問題になるが…
0025１３２人目の素数さん
2007/11/24(土) 20:27:351です。
私のもってるテキストだと指数関数の定義は
e^z=e^(x+iy)=e^x(cosy+isiny)
となってまして、この定義ですと>>24さんのおっしゃるとおり、
実際に証明は演習問題にあります。
ところが私はこの定義はどうしても天下り的な感がして、
歴史的な背景は
級数による実数→複素数への拡張
↓
オイラーの公式
↓
数学的な整備
↓
上記定義
だと思ってまして、先人の苦労を体験してみよう、みたいな発想ですｗ
0026１３２人目の素数さん
2007/11/24(土) 22:23:50両辺m!倍してΣn!/[{n-(p1+p2+p3+…+pm)}!p1!p2!p3!…pm!]*m!/{(1!)^p1(2!)^p2(3!)^p3…(m!)^pm}=n^mを示す。
いま、n種類の文字をm個、重複を許して並べることを考えよう。そのやりかたの数はn^m通りだ。
ここで、1回現れる文字がp1個、2回現れる文字がp2個、…であるような並べ方がいくつあるかを考える。
このとき0回現れる文字はn-(p1+p2+…+pm)個だから、どの文字を何回使うかの部分に関しては
n!/((n-(p1+p2+…+pm))!p1!p2!…pm!)通りの選び方がある。
各々に対して、それらの文字の並べ方がm!/((1!)^p1(2!)^p2…(m!)^pm)通りあるから、これで示された。
0027１３２人目の素数さん
2007/11/25(日) 00:48:571です。
ありがとうございます！！！！！
実にエレガントな解釈であり、またm!倍された式の美しさにびっくりしています。
とりあえず>>26の内容を印刷してノートに貼って拝んでおきます。
ｍ（＿ ＿）ｍ
0028１３２人目の素数さん
2007/11/25(日) 02:51:13「２ちゃんねる発、重複順列の新しい解釈方法とその数式」
ってタイトルで誰か論文書こうぜｗ
0029１３２人目の素数さん
2007/11/25(日) 13:42:39wikipediaの重複順列のところみると
「重複度」って項目のところが>>26に似てるけど
「要素数」を対象にしてるところが>>26は斬新
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