>>298

Ｃ:実軸-r→+r
Ｃｒ:半径ｒ(＞a)の円周　θ:0→-π
として、Ｃ+Ｃｒの内部のz^2+a^2=0の根は、z=-ia

h(z)=exp(-iωz)/(z^2+a^2) のz=-iaにおける留数
Res(-ia)=exp(-iωz)/(z^2+a^2)'_[z=-ia]
　　　　　=exp(-ωa)/(-2ai)

留数定理から、
∫[C+Cr] h(z) dz =2πi*Res(-ia)=-π*exp(-ωa)/a

|z^2+a^2|≧|z^2|-a^2=r^2-a^2、|exp(-iωz)|≦1
|∫[Cr] exp(-iωz)/(z^2+a^2) dz | ≦|∫[Cr] dz/(r^2-a^2)| ≦-πr/(r^2-a^2)

よって、
∫[C] exp(-iωz)/(z^2+a^2) dz -πr/(r^2-a^2)　=-π*exp(-ωa)/a
極限をとって、
lim[ｒ→∞] ∫[-r,+r] exp(-iωx)/(x^2+a^2) dx -πr/(r^2-a^2)=-π*exp(-ωa)/a
∴
　∫[-∞→+∞] exp(-iωx)/(x^2+a^2) dx =-π*exp(-ωa)/a

でＯＫ？