（１）
h_n(x) = n*x/{1+n^2*x^2} とおきますと、g_n(x) = h_n(x) - h_[n-1](x)　となりますから、
f_n(x) = Σ[k=1,n]g_k(x) = h_n(x) - h_[0](x) = h_n(x) = n*x/{1+n^2*x^2}

(2)
x は有限の値とする。
f(x) = n*x/{1+n^2*x^2} = x/{(1/n)+n*x^2} なので、n→∞で0に収束
（ε-δを使えば、x/{(1/n)+n*x^2}　< ε　を初めて満たすnはｘにも依存する値なので、一様収束はしなさそう）

(3)
(g_n)'(0) = 1 なので、(f_n)'(0)=Σ[k=1,n](g_k)'(0) = n →　∞　（n→∞）
ということで一致しません

以上、はなはだ簡単ながら解答しました。