命題
E を実数体 R 上の線形空間とする。
X を E の凸部分集合とする。
f : X → R を写像とする。
以下の条件は同値である。

(1) f は凸関数(>>82)である。

(2) F = { (x, a) ∈ X × R | f(x) ≦ a } は凸集合である。

(3) F' = { (x, a) ∈ X × R | f(x) ＜ a } は凸集合である。

証明
(1) ⇒ (3)
(x, a) ∈ F', (y, b) ∈ F', 0 ＜ λ ＜ 1 に対して
f(λx + (1 - λ)y) ≦ λf(x) + (1 - λ)f(y) ＜ λa + (1 - λ)b
よって
λ(x, a) + (1 - λ)(y, b) = (λx + (1 - λ)y, λa + (1 - λ)b) ∈ F'
即ち、F' は凸集合である。

(3) ⇒ (2)
(x, a) ∈ F, (y, b) ∈ F, 0 ＜ λ ＜ 1 とする。
任意のε ＞ 0 に対して
(x, a + ε) ∈ F', (y, b + ε) ∈ F' である。
λ(x, a + ε) + (1 - λ)(y, b + ε)
= (λx + (1 - λ)y, λa + (1 - λ)b + λε + (1 - λ)ε)
= (λx + (1 - λ)y, λa + (1 - λ)b + ε) ∈ F'
よって、f(λx + (1 - λ)y) ＜ λa + (1 - λ)b + ε
よって、f(λx + (1 - λ)y) ≦ λa + (1 - λ)b
即ち、λ(x, a) + (1 - λ)(y, b) ∈ F である。
よって、F は凸集合である。
(続く)