命題
X を局所コンパクト空間とする。
K(X, R) 上の相対有界(>>737)な線形形式 L は正値線形形式(>>731)の差
として表せられる。
即ち 正値線形形式 U と V があり L = U - V となる。

証明
K+(X, R) = { f ∈ K(X, R) | f ≧ 0 } とおく。
f ∈ K+(X, R) のとき M(f) = sup{ L(g) | g ∈ K(X, R), 0 ≦ g ≦ f }
とおく。L は相対有界だから M(f) は有限である。
f ∈ K+(X, R) のとき M(f) ≧ L(0) = 0 である。

f ∈ K+(X, R), f' ∈ K+(X, R) のとき
M(f) + M(f') = sup{ L(g) + L(g') | 0 ≦ g ≦ f, 0 ≦ g' ≦ f' }
≦ M(f + f')

>>756 より 0 ≦ g ≦ f + f' なら g = h + h', h ≦ f, h' ≦ f'
となる h ∈ K+(X, R), h' ∈ K+(X, R) が存在する。
よって、
M(f + f') = sup{ L(g) | 0 ≦ g ≦ f + f' }
≦ M(f) + M(f')

以上から M(f + f') = M(f) + M(f')
>>755 より M は K(X, R) 上の線形形式 U に一意に拡張される。
U は明らかに正値である。
f ≧ 0 なら U(f) ≧ L(f) だから V = U - L は正値線形形式である。
証明終