補題
X を局所コンパクト空間とする。
K+(X, R) = { f ∈ K(X, R) | f ≧ 0 } とおく。
K(X, R) = K+(X, R) - K+(X, R) である。

証明
f ∈ K(X, R) に対して sup{f, 0} ∈ K+(X, R), sup{-f, 0} ∈ K+(X, R)
である。

f(x) ≧ 0 のとき sup{f(x), 0} = f(x), sup{-f(x), 0} = 0
f(x) ≦ 0 のとき sup{f(x), 0} = 0, sup{-f(x), 0} = -f(x)

よって、f = sup{f, 0} - sup{-f, 0}
即ち K(X, R) = K+(X, R) - K+(X, R) である。
証明終