命題
X を局所コンパクト空間とする。
C を複素数体とする。
f を X から C への連続写像とする。
K(X, C) の元 g に対して fg は K(X, C) の元である。
g に fg を対応させる写像 ψ_g は連続である。

証明
g ∈ K(X, C) のとき Supp(fg) ⊂ Supp(g) だから fg ∈ K(X, C) である。

K を X の任意のコンパクト集合とする。
g ∈ K(X, K, C) に対して、M(K) = sup{f(x); x ∈ K} とする。
|fg| ≦ M(K)|g| であるから ψ_g の K(X, K, C) への制限は連続である。

K(X, C) の位相は局所凸空間 K(X, K, C) の帰納的極限(>>680)である。
従って、過去スレ008の561の(2)より ψ_g は連続である。
証明終