命題
X を局所コンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の局所凸空間とする。
K(X, E) (>>662) に >>685 の位相 Ω をいれる。
X の任意のコンパクト集合 K に対して K(X, K, E) (>>662) の
K(X, E) の部分空間としての位相は K(X, K, E) の一様収束の位相
(過去スレ007の150)と一致する。

証明
K(X, K, E) への K(X, E) の部分空間としての位相を Ω(K) とする。
K(X, E) の一様収束の位相を Ω_u とする。
K(X, K, E) の一様収束の位相を Ω_u(K) とする。

K(X, K, E) に Ω_u(K) を入れると、
標準単射 K(X, K, E) → K(X, E) は連続である。
よって Ω(K) ⊂ Ω_u(K) である。

一方、>>692 より Ω_u は局所凸である。
Ω_u の K(X, K, E) への制限は Ω_u(K) であるから
Ωが K(X, K, E) の帰納極限であることから Ω_u ⊂ Ω である。
これから Ω_u(K) ⊂ Ω(K) である。
よって、Ω(K) = Ω_u(K) である。
証明終