命題
X を局所コンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
K(X, E) (>>662) に一様収束の位相(過去スレ007の149)を入れると
K(X, E) は位相線形空間となる。
さらに E が局所凸なら K(X, E) も局所凸である。

証明
f ∈ K(X, E) とする。
K = Supp(f) とする。
f(X) = f(K) ∪ {0} は準コンパクトである。
過去スレ006の313より f(X) は全有界である。
>>687より f(X) は有界である。
>>49より K(X, E) 一様収束の位相で位相線形空間となる。
同じく >>49より E が局所凸なら K(X, E) も局所凸である。
証明終