命題
A を可換とは限らない環とする。
I を上向きの有向集合(過去スレ008の140)とする。
E を A-加群とする。
(E_i), i ∈ I を E の A-部分加群の族で
E = ∪{ E_i | i ∈ I }
i ≦ j のとき常に E_i ⊂ E_j となるものとする。
(E_i) と標準単射 E_i → E_j は帰納系(過去スレ008の578)である。

f_i: E_i → E を標準単射とする。

このとき E = ind.lim E_i (過去スレ008の578)である。

証明
帰納系 (E_i) から A-加群 F への射(過去スレ008の578) (g_i) が
あるとする。
E = ∪{ E_i | i ∈ I } であるから x ∈ E のとき x ∈ E_i となる
i がある。このとき g(x) = g_i(x) と定義する。
x ∈ E_j なら i ≦ k, j ≦ k となる k がある。
g_i(x) = g_k(x), g_j(x) = g_k(x) だから g_i(x) = g_j(x) である。
よって g(x) は x ∈ E_i となる i の取り方によらない。
明らかに g: E → F は A-加群としての射である。
g の定義より、各 i で g_i = g(f_i) である。

h: E → F を A-加群としての射とし、各 i で g_i = h(f_i) とする。
x ∈ E_i のとき h(x) = g_i(x) である。
よって g = h である。

以上から E = ind.lim E_i である。
証明終