>>667 の前に次の命題を述べたほうが良かった。

命題
X をコンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の局所凸空間とする。
C(X, E) を X から E への連続写像全体とする。
C(X, E) に一様収束の位相(過去スレ007の150)を与えると
C(X, E) は局所凸空間である。

証明
過去スレ008の519およびそれを複素数体上に拡張した結果(>>20)から
E の位相は半ノルムの集合 Γ により定義される(過去スレ008の469)。
p ∈ Γ と f ∈ C(X, E) に対して
φ(p)(f) = sup{ p(f(x)) | x ∈ X } とおく。
p は連続であるから pf も連続である。
X はコンパクトだから φ(p)(f) は有限である。
明らかに φ(p) は C(X, E) の半ノルムである。

p ∈ Γ と ε ＞ 0 に対して
W(p, ε) = { x ∈ E | p(x) ≦ ε } とおく。

{ f ∈ C(X, E) | φ(p)(f) ≦ ε }
= { f ∈ C(X, E) | p(f(x)) ≦ ε, 任意の x ∈ X }
= { f ∈ C(X, E) | f(X) ⊂ W(p, ε) }

これから C(X, E) の位相は { φ(p) | p ∈ Γ } で定義される。
証明終