命題
X をコンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の Banach 空間(過去スレ008の550) とする。
C(X, E) を X から E への連続写像全体である。
|f| = sup{ |f(x)| | x ∈ X } は C(X, E) のノルムであり、
このノルムにより C(X, E) は Banach 空間となる。
このとき C(X, E) の位相は一様収束の位相(過去スレ007の150)である。

証明
X はコンパクトだから f ∈ C(X, E) のとき
sup{ |f(x)| | x ∈ X } は有限である。
よって |f| = sup{ |f(x)| | x ∈ X } は C(X, E) の半ノルムである。
E はノルム空間だから |f| = 0 なら f = 0 である。
よって |f| はノルムである。
このノルムによる位相は C(X, E) の位相は一様収束の位相である。
E は完備だから過去スレ007の167より C(X, E) は完備である。
よって C(X, E) は Banach 空間である。
証明終