命題
X をコンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の Frechet 空間(>>2) とする。
C(X, E) を X から E への連続写像全体である。
C(X, E) に一様収束の位相(過去スレ007の150)を与えると
C(X, E) は Frechet 空間である。

証明
過去スレ008の553とその複素数体への拡張(>>20)より
E の位相は可算個の半ノルムの集合により定義される。
p_n, n = 1,2, ... を E の位相を定義する半ノルムの列とする。
f ∈ C(X, E) に対して
q_n(f) = sup{ p_n(f(x)) | x ∈ X }
とおく。
X はコンパクトだから q_n(f) は有限である。
明らかに q_n は C(X, E) の半ノルムである。
C(X, E) の位相は q_n, n = 1,2, ... で定義される。
E は分離的だから 過去スレ007の159より C(X, E) は分離的である。
過去スレ008の553とその複素数体への拡張(>>20)より
C(X, E) は距離付け可能である。
E は完備だから過去スレ007の167より C(X, E) は完備である。
よって C(X, E) は Frechet 空間である。
証明終