命題
X を局所コンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の分離位相線形空間とする。
K を X のコンパクト集合とする。
L を K の境界とする。
即ち L = K - int(K) である。
ここで int(K) は K の内部である。
>>664 より K(X, K, E) を { f ∈ C(K, E) | f(L) = 0 } と同一視する。
C(K, E) に一様収束の位相(過去スレ007の150)を与えると
K(X, K, E) は C(K, E) で閉である。

証明
x ∈ K に対して C(K, E) の元 f に f(x) ∈ E を対応させる写像は
連続である。
E は分離的だから {0} は閉集合である。
従って T(x) = { f ∈ C(K, E) | f(x) = 0 } は閉である。
よって、K(X, K, E) = ∩{T(x) | x ∈ L } は閉である。
証明終