命題
X と Y を位相空間とする。
A と B を X の閉集合で X = A ∪ B とする。
f : X → Y を写像で f|A と f|B はそれぞれ連続とする。
このとき f は連続である。

証明
C を Y の任意の閉集合とする。
f^(-1)(C) ∩ A と f^(-1)(C) ∩ B は X の閉集合である。
よって f^(-1)(C) = (f^(-1)(C) ∩ A) ∪ (f^(-1)(C) ∩ B) も
X の閉集合である。
即ち f は連続である。
証明終