命題
X と Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合で同程度一様連続(>>316)とする。
D を X の稠密な部分集合とする。

このとき、H の上で全有界収束の一様構造(>>641)と
単純収束の一様構造(過去スレ007の154)と
D での単純収束の一様構造(過去スレ007の161)はすべて一致する。

証明
それぞれの一様収束の定義から、
全有界収束の一様構造は単純収束の一様構造より細かく、
単純収束収束の一様構造は D での単純収束の一様構造より細かい。
従って、H の上で D での単純収束の一様構造が全有界収束の一様構造
より細かいことを示せばよい。
すなわち、Y の近縁 V と X の全有界集合 A が与えられたとき
Y の近縁 W と D の有限集合 F があり、
f ∈ H, g ∈ H で任意の x ∈ F に対して (f(x), g(x)) ∈ W
のとき
任意の x ∈ A に対して (f(x), g(x)) ∈ V となることを示せばよい。

X^, Y^ をそれぞれ X, Y の分離完備化(過去スレ006の288)とする。
φ: X → X^
ψ: Y → Y^
をそれぞれ標準写像とする。
f ∈ H のとき>>642より一様連続写像 f^ : X^ → Y^ で
ψf = f^φ となるものが一意に存在する。
H^ = { f^ | f ∈ H } とおく。
Y の一様構造は Y^ の一様構造のψによる逆像である(過去スレ006の278)。
よって Y^ の近縁 V^ があり V は V^ のψ×ψによる逆像である。
(続く)