命題
X と Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。
H を X から Y への一様連続写像全体のある部分集合とする。
X^, Y^ をそれぞれ X, Y の分離完備化(過去スレ006の288)とする。
φ: X → X^
ψ: Y → Y^
をそれぞれ標準写像とする。

f ∈ H のとき>>642より一様連続写像 f^ : X^ → Y^ で
ψf = f^φ となるものが一意に存在する。
H^ = { f^ | f ∈ H } とおく。

H が同程度一様連続(>>316)であるたには H^ が同程度一様連続であることが
必要十分である。

証明
X の一様構造は X^ の一様構造のφによる逆像である(過去スレ006の278)。
同様に Y の一様構造は Y^ の一様構造のψによる逆像である。

H^ が同程度一様連続であるとする。
Y の任意の近縁 V に対して Y^ の近縁 V^ があり V は V^ のψ×ψによる
逆像である。
仮定より X^ の近縁 W^ があり (φ(x), φ(y)) ∈ W^ なら
任意の f ∈ H に対して (f^(φ(x)), f^(φ(y))) ∈ V^ となる。
これは (ψf(x), ψf(y)) ∈ V^ を意味する。
よって、(f(x), f(y)) ∈ V である。

W^ のφ×φによる逆像を W とすれば、
(x, y) ∈ W なら (φ(x), φ(y)) ∈ W^ である。
上記から (f(x), f(y)) ∈ V である。
即ち H は同程度一様連続である。
(続く)