命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間で、E の位相は半ノルムの集合 Γ により
定義される(過去スレ008の469)とする。

A を E の部分集合とする。
A が有界(>>35)であるためには、任意の p ∈ Γ が A で有界である
ことが必要十分である。

証明
任意の α ＞ 0 と p ∈ Γ に対して、
V(p, α) = { x ∈ E | p(x) ≦ α } とおく。

A が有界なら任意の α ＞ 0 と p ∈ Γ に対して、
λ ∈ K で A ⊂ λV(p, α) となるものが存在する。
x ∈ V(p, α) なら p(λx) = |λ|p(x) ≦ |λ|α
よって p は A で有界である。

逆に任意の p ∈ Γ が A で有界であるとする。
任意の p ∈ Γ に対して、A ⊂ V(p, β) となる β ＞ 0 が存在する。
任意の α ＞ 0 に対して、V(p, β) = (β/α)V(p, α) である。
よって、>>36 より A は有界である。
証明終