定理(双極定理)
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
M を E の部分集合とする。
M の極集合(>>549)の極集合 M゜゜は M ∪ {0} の凸包(過去スレ008の431)
の弱位相(>>529)に関する閉包である。

証明
明らかに M ∪ {0} ⊂ M゜゜である。
M ∪ {0} の凸包の弱位相に関する閉包を N とする。
>>552 より N ⊂ M゜゜である。
a を E の元で N に含まれないとする。
>>163 より a と N を強分離(>>151)する閉実超平面 H が存在する。
H は 0 を含まないから実双線形形式 Re(<x, y>) に >>553 を適用すると
y ∈ F があり、H = { x ∈ E | Re(<x, y>) = -1 } となる。
よって N ⊂ { x ∈ E | Re(<x, y>) ＞ -1 } となり、
Re(<a, y>) ＜ -1 となる。
よって、 y ∈ M゜であり、a は M゜゜に含まれない。
即ち N = M゜゜である。
証明終